微积分学示例

$\csc (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 1.2

重新排序 $- \csc (x) \cot (x)$ 的因式。

$- \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \cot (x) \csc (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0)$

解题步骤 2.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.2.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.2.4

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.2.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 2.2.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 2.2.2.4.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.2.2.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.2.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.2.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2.2.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.3

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) = 0$

解题步骤 2.3.2

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 2.4

最终解为使 $- \cot (x) \csc (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{π}{2}$ 处的原函数 $f (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 1$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{π}{2} + π$ 处的原函数 $f (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 4.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

解题步骤 4.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

解题步骤 4.2.3.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 4.2.4

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.2.5

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

解题步骤 4.2.7

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

函数 $f (x) = \csc (x)$ 的水平切线为 $y = 1, y = - 1$ 。

$y = 1, y = - 1$

解题步骤 6

微积分学 示例

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