微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.3.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

解题步骤 1.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

解题步骤 1.6.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}}$

解题步骤 1.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.8.2

合并项。

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解题步骤 1.8.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 1.8.2.2

将 $3$ 移到 $x^{\frac{5}{3}}$ 的左侧。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.2

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 时 $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 无解，所以不存在水平切线。

找不到水平切线

解题步骤 4

微积分学 示例

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