微积分学示例

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \sin (2 x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 \sin (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将 $- 4 \sin (2 x) = 0$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

将 $- 4 \sin (2 x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 2.1.2.1.2

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$\sin (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (0)$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 x = 0$

解题步骤 2.4

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - 0$

解题步骤 2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

化简。

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解题步骤 2.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 x = π + 0$

解题步骤 2.6.1.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$2 x = π$

解题步骤 2.6.2

将 $2 x = π$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $2 x = π$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.7

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.8

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.9

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{π}{2}$ 处的原函数 $f (x) = 2 \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

解题步骤 3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

解题步骤 3.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.2.4

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

解题步骤 3.2.5

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 4

函数 $f (x) = 2 \cos (2 x)$ 的水平切线为 $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ 。

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

解题步骤 5

微积分学 示例

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