微积分学示例

$y^{2} - x y - 12 = 0$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2

将 $a = 1$ 、 $b = - x$ 和 $c = - 12$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

解题步骤 1.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ 。

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解题步骤 1.4.1.4.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

解题步骤 1.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

解题步骤 1.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

解题步骤 1.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

解题步骤 1.6

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $y^{2} - x y - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

解题步骤 3.2.5

化简。

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解题步骤 3.2.5.1

运用分配律。

$2 y y' - (x y') - y + 0$

解题步骤 3.2.5.2

将 $2 y y' - x y' - y$ 和 $0$ 相加。

$2 y y' - x y' - y$

解题步骤 3.3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' - x y' - y = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$2 y y' - x y' = y$

解题步骤 3.5.2

从 $2 y y' - x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) - x y' = y$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

解题步骤 3.5.2.3

从 $y' (2 y) + y' (- x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y - x) = y$

解题步骤 3.5.3

将 $y' (2 y - x) = y$ 中的每一项除以 $2 y - x$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $y' (2 y - x) = y$ 中的每一项都除以 $2 y - x$ 。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $2 y - x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

解题步骤 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

解题步骤 5

微积分学 示例

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