微积分学示例

$18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$

解题步骤 1

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$18 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$18 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$- 18 \sin (x) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$- 18 \sin (x) + 9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$- 18 \sin (x) + 9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$- 18 \sin (x) + 9 (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 18 \sin (x) + 18 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.2

运用分配律。

$- 18 \sin (x) + 18 \cdot 1 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$- 18 \sin (x) + 18 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $18$ 。

$- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

对 $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $18$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $- 18 \sin (x)$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (- \sin (x)) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $18$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) - 36 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 36 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $18 (- \sin (x)) + 18 (1)$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.1

重新排序项。

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.2.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.3

运用分配律。

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$18 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.4

通过因式分解出最大公因数 $- 2 \sin (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$18 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $- 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $- 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.1

将 $- 2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 2.4.2.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 2.4.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.4.2.6

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.4.2.6.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 2.4.2.6.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.6.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 2.4.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 2.4.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 2.5.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.5.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.5.2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 2.5.2.7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.7.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

最终解为使 $18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.7

合并答案。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{π}{6}$ 处的原函数 $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 18 \cos (\frac{π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 18 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (9) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (9 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

解题步骤 3.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 3.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 3.2.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 3.2.1.5

组合 $9$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.2

要将 $9 \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

组合 $9 \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2 + 9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{18 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $18 \sqrt{3}$ 和 $9 \sqrt{3}$ 相加。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.5

最终答案为 $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{27 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ 处的原函数 $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.2.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 4 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.4.2

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{5 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \cos (\frac{π}{6})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.6

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.7.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.7.2

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 (9) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.7.3

约去公因数。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (9 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.7.4

重写表达式。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 9 (- \sqrt{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.9

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 4.2.1.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.10.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}))$

解题步骤 4.2.1.10.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}))$

解题步骤 4.2.1.11

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}))$

解题步骤 4.2.1.12

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.12.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 4 π}{6}))$

解题步骤 4.2.1.12.2

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 4.2.1.13

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.13.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

解题步骤 4.2.1.13.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 4.2.1.13.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.2.1.14

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.15

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.2.1.16

乘以 $9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.16.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - 9 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.1.16.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.1.17

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2

要将 $- 9 \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

组合 $- 9 \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2 - 9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 18 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

从 $- 18 \sqrt{3}$ 中减去 $9 \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 27 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ 的水平切线为 $y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例