微积分学示例

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

解题步骤 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

解题步骤 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.2.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

解题步骤 2.2.4.2

去掉多余的括号。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

解题步骤 2.3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

解题步骤 2.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 2.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.5.1.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

解题步骤 2.5.1.2

在等式两边都加上 $9 y$ 。

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

解题步骤 2.5.2

从 $3 y^{2} y' - 9 x y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 9 x y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

解题步骤 2.5.2.3

从 $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

解题步骤 2.5.3

将 $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ 中的每一项除以 $3 (y^{2} - 3 x)$ 并化简。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ 中的每一项都除以 $3 (y^{2} - 3 x)$ 。

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.2.2

约去 $y^{2} - 3 x$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.3.1.1

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.3.1.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.3.1.3

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.3.1.3.1

从 $9 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

解题步骤 2.5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 2.5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 2.5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 2.5.3.3.2.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 2.5.3.3.2.3

从 $3 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 2.5.3.3.2.4

从 $- (x^{2}) - (- 3 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 2.5.3.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.3.3.2.5.1

将 $- (x^{2} - 3 y)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 3 y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 2.5.3.3.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 2.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将分子设为等于零。

$x^{2} - 3 y = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3 y$ 。

$x^{2} = 3 y$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{3 y}$

解题步骤 3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3 y}$

解题步骤 3.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3 y}$

解题步骤 3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

解题步骤 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\sqrt{3 y}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

解题步骤 4.2

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

解题步骤 6

微积分学 示例

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