微积分学示例

$x^{3} + y^{3} = 7$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x^{3}$ 。

$y^{3} = 7 - x^{3}$

解题步骤 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

求微分。

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解题步骤 3.2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 3.5.2

将 $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $3 y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 y^{2}$ 。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

将分子设为等于零。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

解题步骤 5.2.3

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\sqrt[3]{7}$ 。

$\sqrt[3]{7}$

解题步骤 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = \sqrt[3]{7}$

小数形式：

$y = 1.91293118 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

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