微积分学示例

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

解题步骤 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

解题步骤 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

解题步骤 2.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 (x y' + y)$

解题步骤 2.3.6

运用分配律。

$2 x y' + 2 y$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

解题步骤 2.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 2.5.1

从等式两边同时减去 $2 x y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

解题步骤 2.5.3

从 $3 y^{2} y' - 2 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 2.5.3.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

解题步骤 2.5.3.2

从 $- 2 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

解题步骤 2.5.3.3

从 $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

解题步骤 2.5.4

将 $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $3 y^{2} - 2 x$ 并化简。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 y^{2} - 2 x$ 。

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.4.2.1

约去 $3 y^{2} - 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将分子设为等于零。

$2 y - 3 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$- 3 x^{2} = - 2 y$

解题步骤 3.2.2

将 $- 3 x^{2} = - 2 y$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 3 x^{2} = - 2 y$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

解题步骤 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

解题步骤 3.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.2.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.2.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.2.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.2.4.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

解题步骤 3.2.4.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

解题步骤 3.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

解题步骤 3.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

解题步骤 3.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

解题步骤 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ 和 $y$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

乘以 $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

解题步骤 5.2.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

解题步骤 5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

解题步骤 5.2.3

组合 $y$ 和 $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

解题步骤 5.2.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ 。

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

解题步骤 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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