微积分学示例

$x^{2} - x$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{1}{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{2} - x$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

解题步骤 3.2.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2.7

最终答案为 $- \frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 4

函数 $f (x) = x^{2} - x$ 的水平切线为 $y = - \frac{1}{4}$ 。

$y = - \frac{1}{4}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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