微积分学示例

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

解题步骤 1.2

将 $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

解题步骤 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

解题步骤 1.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

解题步骤 1.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

解题步骤 1.4.3

将 $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

解题步骤 1.4.4

将 $\frac{x^{2}}{9}$ 重写为 ${(\frac{x}{3})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{3}$ 和 $b = \frac{x}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

解题步骤 1.4.6

化简项。

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解题步骤 1.4.6.1

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

解题步骤 1.4.6.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

解题步骤 1.4.6.3

将 $\frac{1 + x}{3}$ 乘以 $\frac{1 - x}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 1.4.6.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

解题步骤 1.4.7

将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ 。

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解题步骤 1.4.7.1

从 $(1 + x) (1 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

解题步骤 1.4.7.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 1.4.7.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

解题步骤 1.4.8

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 1.4.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

解题步骤 1.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

解题步骤 1.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

解题步骤 1.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

求微分。

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解题步骤 3.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 9 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 9 (2 y y')$

解题步骤 3.2.2.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$2 x + 18 y y'$

解题步骤 3.2.3

重新排序项。

$18 y y' + 2 x$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$18 y y' + 2 x = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$18 y y' = - 2 x$

解题步骤 3.5.2

将 $18 y y' = - 2 x$ 中的每一项除以 $18 y$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $18 y y' = - 2 x$ 中的每一项都除以 $18 y$ 。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $18$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

约去 $- 2$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

从 $18 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- x}{9 y}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x}{9 y}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

解题步骤 5.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $1 - (0)$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

解题步骤 5.2.2.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1 - (0)$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

解题步骤 6.2.2.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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