微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 + \sin (x)$ 。

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $2 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9

化简。

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解题步骤 1.9.1

运用分配律。

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2

化简分子。

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解题步骤 1.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.1.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.9.2.1.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.1.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.2

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.3

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.4

从 $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.5

使用勾股恒等式。

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.3

重新排序项。

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.4

从 $- 1 - 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 1.9.4.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.4.2

从 $- 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.4.3

从 $- 1 (1) - (2 \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.4.4

将 $- 1 (1 + 2 \sin (x))$ 重写为 $- (1 + 2 \sin (x))$ 。

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1.9.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将分子设为等于零。

$1 + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 2.2.2

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 2.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 2.2.6.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 2.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 2.2.8.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2.8.3

合并分数。

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解题步骤 2.2.8.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 2.2.8.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.8.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 2.2.8.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 2.2.8.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 2.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{7 π}{6}$ 处的原函数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

解题步骤 3.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

解题步骤 3.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

解题步骤 3.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.2.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

解题步骤 3.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

解题步骤 3.2.2.6.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.4.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.4.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{11 π}{6}$ 处的原函数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{11 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

解题步骤 4.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

解题步骤 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.6.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.5

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ 上的水平切线是 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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