微积分学示例

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} - 3 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $x^{2} - 3$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 3$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

解题步骤 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 3

求在 $x = \sqrt{3}$ 处的原函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.1.3

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.1.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.5.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.1.5.2

约去公因数。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.1.5.3

重写表达式。

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.2

从 $\sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $- 2 \sqrt{3} + 2$ 。

$- 2 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 4

求在 $x = - \sqrt{3}$ 处的原函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.5

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.5.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.6

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.7.1

从 $- (3 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.7.2

约去公因数。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.7.3

重写表达式。

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 4.2.2

将 $- \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $2 \sqrt{3} + 2$ 。

$2 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 5

函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 上的水平切线是 $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ 。

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

解题步骤 6

微积分学 示例

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