微积分学示例

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

解题步骤 1.2

化简 $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

解题步骤 1.2.2

从根式下提出各项。

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

解题步骤 1.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

解题步骤 1.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

解题步骤 1.3.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

解题步骤 1.3.4

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

解题步骤 1.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(y - 2)}^{2}$ 重写为 $(y - 2) (y - 2)$ 。

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

解题步骤 3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(y - 2) (y - 2)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

解题步骤 3.2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

解题步骤 3.2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

解题步骤 3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

解题步骤 3.2.3.2

从 $- 2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

解题步骤 3.2.4

根据加法法则， $y^{2} - 4 y + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.5.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.6

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.7

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.8

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 y y' - 4 y' + 0$

解题步骤 3.2.10

将 $2 y y' - 4 y'$ 和 $0$ 相加。

$2 y y' - 4 y'$

解题步骤 3.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 (x - 3)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (1 + 0)$

解题步骤 3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \cdot 1$

解题步骤 3.3.5.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' - 4 y' = 4$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从 $2 y y' - 4 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y - 4 y' = 4$

解题步骤 3.5.1.2

从 $- 4 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

解题步骤 3.5.1.3

从 $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y - 2) = 4$

解题步骤 3.5.2

将 $2 y' (y - 2) = 4$ 中的每一项除以 $2 (y - 2)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $2 y' (y - 2) = 4$ 中的每一项都除以 $2 (y - 2)$ 。

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去 $y - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{2}{y - 2}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{y - 2} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 4.2

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 5

使导数等于 $0$ 时 $\frac{2}{y - 2} = 0$ 无解，所以不存在水平切线。

找不到水平切线

解题步骤 6

微积分学 示例

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