微积分学示例

$x^{2} + y^{2} = 26 y$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $26 y$ 。

$x^{2} + y^{2} - 26 y = 0$

解题步骤 1.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 26$ 和 $c = x^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ 重写为 ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = - 26$ 和 $b = 2 \cdot 1 x$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3

化简。

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解题步骤 1.4.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.2

从 $- 26 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.4.1.3.2.1

从 $- 26$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.2.2

从 $2 \cdot - 13 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.3

合并指数。

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解题步骤 1.4.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4

从 $- 26 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.4.1.4.1

从 $- 26$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4.3

从 $2 (- 13) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.6

将 $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ 重写为 $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ 。

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解题步骤 1.4.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.6.2

添加圆括号。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

解题步骤 1.4.3

化简 $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ 。

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

解题步骤 1.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ 重写为 ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = - 26$ 和 $b = 2 \cdot 1 x$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3

化简。

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解题步骤 1.5.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.2

从 $- 26 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.5.1.3.2.1

从 $- 26$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.2.2

从 $2 \cdot - 13 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.3

合并指数。

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解题步骤 1.5.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4

从 $- 26 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.1

从 $- 26$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4.3

从 $2 (- 13) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.6

将 $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ 重写为 $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ 。

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解题步骤 1.5.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.6.2

添加圆括号。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

解题步骤 1.5.3

化简 $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ 。

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

解题步骤 1.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

解题步骤 1.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ 重写为 ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = - 26$ 和 $b = 2 \cdot 1 x$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.3

化简。

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解题步骤 1.6.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.3.2

从 $- 26 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.6.1.3.2.1

从 $- 26$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.3.2.2

从 $2 \cdot - 13 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.3.3

合并指数。

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解题步骤 1.6.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.4

从 $- 26 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.6.1.4.1

从 $- 26$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.4.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.4.3

从 $2 (- 13) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.6

将 $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ 重写为 $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ 。

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解题步骤 1.6.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.6.2

添加圆括号。

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

解题步骤 1.6.3

化简 $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ 。

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

解题步骤 1.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

解题步骤 1.7

最终答案为两个解的组合。

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)} \to f (x) = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)} \to f (x) = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 26 y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (26 y)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

求微分。

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解题步骤 3.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 2 y y'$

解题步骤 3.2.3

重新排序项。

$2 y y' + 2 x$

解题步骤 3.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $26$ 对于 $x$ 是常数，所以 $26 y$ 对 $x$ 的导数是 $26 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$26 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$26 y'$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 2 x = 26 y'$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $26 y'$ 。

$2 y y' + 2 x - 26 y' = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$2 y y' - 26 y' = - 2 x$

解题步骤 3.5.3

从 $2 y y' - 26 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 3.5.3.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y - 26 y' = - 2 x$

解题步骤 3.5.3.2

从 $- 26 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y + 2 y' \cdot - 13 = - 2 x$

解题步骤 3.5.3.3

从 $2 y' y + 2 y' \cdot - 13$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y - 13) = - 2 x$

解题步骤 3.5.4

将 $2 y' (y - 13) = - 2 x$ 中的每一项除以 $2 (y - 13)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $2 y' (y - 13) = - 2 x$ 中的每一项都除以 $2 (y - 13)$ 。

$\frac{2 y' (y - 13)}{2 (y - 13)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (y - 13)}{2 (y - 13)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y - 13)}{y - 13} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

解题步骤 3.5.4.2.2

约去 $y - 13$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - 13)}{y - 13} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

解题步骤 3.5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

解题步骤 3.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.3.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.3.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 13)}$

解题步骤 3.5.4.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.4.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 13)}$

解题步骤 3.5.4.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- x}{y - 13}$

解题步骤 3.5.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x}{y - 13}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y - 13}$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 13 + \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = 13 + \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 13$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 (- 13 - (0))}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 (- 13 + 0)}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 13$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 \cdot - 13}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $- 13$ 乘以 $- 13$ 。

$f (0) = 13 + \sqrt{169}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$f (0) = 13 + \sqrt{13^{2}}$

解题步骤 5.2.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 13 + 13$

解题步骤 5.2.3

将 $13$ 和 $13$ 相加。

$f (0) = 26$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $26$ 。

$26$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 13 - \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = 13 - \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

解题步骤 6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 13$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 (- 13 - (0))}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 (- 13 + 0)}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 13$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 \cdot - 13}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $- 13$ 乘以 $- 13$ 。

$f (0) = 13 - \sqrt{169}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$f (0) = 13 - \sqrt{13^{2}}$

解题步骤 6.2.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 13 - 1 \cdot 13$

解题步骤 6.2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $13$ 。

$f (0) = 13 - 13$

解题步骤 6.2.3

从 $13$ 中减去 $13$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = 26, y = 0$

$y = 26, y = 0$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例