微积分学示例

$f (x) = 2 x^{4} - 8 x^{3}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 2.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 8 {(- x)}^{3}$

解题步骤 2.2.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) - 8 {(- x)}^{3}$

解题步骤 2.2.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = 2 x^{4} - 8 {(- x)}^{3}$

解题步骤 2.2.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 2 x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3})$

解题步骤 2.2.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = 2 x^{4} - 8 (- x^{3})$

解题步骤 2.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- x) = 2 x^{4} + 8 x^{3}$

$f (- x) = 2 x^{4} + 8 x^{3}$

$f (- x) = 2 x^{4} + 8 x^{3}$

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 3.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 3.2

因为 $2 x^{4} + 8 x^{3}$ $\neq$ $2 x^{4} - 8 x^{3}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

该函数不是偶函数

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 4.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $2 x^{4} - 8 x^{3}$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (2 x^{4} - 8 x^{3})$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - (2 x^{4}) - (- 8 x^{3})$

解题步骤 4.1.3

乘。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - 2 x^{4} - (- 8 x^{3})$

解题步骤 4.1.3.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

$- f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

$- f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

解题步骤 4.2

因为 $2 x^{4} + 8 x^{3}$ $\neq$ $- 2 x^{4} + 8 x^{3}$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

该函数不是奇函数

解题步骤 5

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 6

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 7

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

解题步骤 8

因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以没有关于原点 / y 轴对称。

函数不对称

解题步骤 9

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$