微积分学示例

f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

从

x^{4} - 16 x^{2}

$x^{4} - 16 x^{2}$ 中分解出因数

x^{2}

$x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

从

x^{4}

$x^{4}$ 中分解出因数

x^{2}

$x^{2}$ 。

f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

从

- 16 x^{2}

$- 16 x^{2}$ 中分解出因数

x^{2}

$x^{2}$ 。

f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}$

解题步骤 2.1.3

从

x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ 中分解出因数

x^{2}

$x^{2}$ 。

f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}$

f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}$

解题步骤 2.2

将

16

$16$ 重写为

4^{2}

$4^{2}$ 。

f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}$

解题步骤 2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

a = x

$a = x$ 和

b = 4

$b = 4$ 。

f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 4) (x - 4)}

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 2.4

将

x^{2} (x + 4) (x - 4)

$x^{2} (x + 4) (x - 4)$ 重写为

x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))

$x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 2^{2}) (x - 4)}

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 2^{2}) (x - 4)}$

解题步骤 2.4.2

添加圆括号。

f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}

$f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}$

f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}

$f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}$

解题步骤 2.5

从根式下提出各项。

f (x) = x \sqrt{(x + 2^{2}) (x - 4)}

$f (x) = x \sqrt{(x + 2^{2}) (x - 4)}$

解题步骤 2.6

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}

$f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}

$f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 3

求

f (- x)

$f (- x)$ 。

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解题步骤 3.1

通过代入

- x

$- x$ 替换

f (x)

$f (x)$ 中所有出现的

x

$x$ 来求

f (- x)

$f (- x)$ 。

f (- x) = (- x) \sqrt{((- x) + 4) ((- x) - 4)}

$f (- x) = (- x) \sqrt{((- x) + 4) ((- x) - 4)}$

解题步骤 3.2

去掉圆括号。

f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}

$f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}$

f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}

$f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}$

解题步骤 4

如果一个函数满足

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 4.1

判断

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 4.2

因为

- x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)} = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}

$- x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)} = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$ ，所以该函数是偶函数。

该函数为偶函数

该函数为偶函数

解题步骤 5

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 6

因为函数不是偶函数，所以关于 y 轴对称。

Y 轴对称

解题步骤 7

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$