微积分学示例

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

对称类型有三种：

1. X 轴对称

2. Y 轴对称

3. 原点对称

解题步骤 2

如果点 $(x, y)$ 在图像上，则该图像关于以下对称：

1. 如果 $(x, - y)$ 在图形上，则为 X 轴

2. 如果 $(- x, y)$ 在图形上，则为 Y 轴

3. 如果 $(- x, - y)$ 在图形上，则为原点

解题步骤 3

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 。

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 4.2

对 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 4.3

对 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.4.1

约去公因数。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4.2

重写表达式。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 4.6.5

化简。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 6

因为该方程不等于原方程，所以方程不是关于 x 轴对称。

非关于 x 轴对称

解题步骤 7

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

解题步骤 8.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

解题步骤 8.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 9

因为该方程不等于原方程，所以方程不是关于 y 轴对称。

非关于 y 轴对称

解题步骤 10

通过把 $- x$ 代入替换 $x$ 、把 $- y$ 代入替换 $y$ ，检验图像是否关于原点对称。

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 11.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 11.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

解题步骤 11.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

解题步骤 11.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11.3

将负号移到分数的前面。

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 12

两边同时乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 12.1

每一项乘以 $- 1$ 。

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 12.2

乘以 $- - y$ 。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 12.3

乘以 $- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 13

因为该方程等于原方程，所以方程关于原点对称。

关于原点对称

解题步骤 14

微积分学 示例

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