微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{2} - 9)$

解题步骤 1

将 $\ln (x^{2} - 9)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 9 > 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

在不等式两边同时加上 $9$ 。

$x^{2} > 9$

解题步骤 2.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

解题步骤 2.3

化简方程。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

从根式下提出各项。

$| x | > \sqrt{9}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $\sqrt{9}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | > | 3 |$

解题步骤 2.3.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$| x | > 3$

解题步骤 2.4

将 $| x | > 3$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x > 3$

解题步骤 2.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x > 3$

解题步骤 2.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.5

求 $x > 3$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x > 3$

解题步骤 2.6

将 $- x > 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $- x > 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$x < - 3$

解题步骤 2.7

求解的并集。

$x < - 3$ 或 $x > 3$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x < - 3, x > 3}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${y | y \in ℝ}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, - 3) \cup (3, \infty), {x | x < - 3, x > 3}$

值域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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