微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

求 $f (- x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

解题步骤 3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

解题步骤 3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

解题步骤 3.3

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

解题步骤 3.3.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

解题步骤 3.3.3

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

解题步骤 3.3.4

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

解题步骤 3.3.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.3.7

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

解题步骤 3.3.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.8.1

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

解题步骤 3.3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

解题步骤 3.3.8.3

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 4.2

因为 $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 5

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

解题步骤 6

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 7

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 8

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

解题步骤 9

因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以没有关于原点 / y 轴对称。

函数不对称

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例