微积分学示例

f (x) = 8 x^{2}

$f (x) = 8 x^{2}$ ,

16 x + y + 6 = 0

$16 x + y + 6 = 0$

解题步骤 1

将所有不包含

y

$y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去

16 x

$16 x$ 。

y + 6 = - 16 x

$y + 6 = - 16 x$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去

6

$6$ 。

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$

解题步骤 2

使用斜截式求斜率。

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解题步骤 2.1

斜截式为

y = m x + b

$y = m x + b$ ，其中

m

$m$ 是斜率，

b

$b$ 是 y 轴截距。

y = m x + b

$y = m x + b$

解题步骤 2.2

使用斜截式，斜率为

- 16

$- 16$ 。

m = - 16

$m = - 16$

m = - 16

$m = - 16$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

因为

8

$8$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

8 x^{2}

$8 x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

8 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

8 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

8 (2 x)

$8 (2 x)$

解题步骤 3.3

将

2

$2$ 乘以

8

$8$ 。

16 x

$16 x$

16 x

$16 x$

解题步骤 4

函数的一阶导数表示该函数在每一点上的斜率。在本例中，

f (x) = 8 x^{2}

$f (x) = 8 x^{2}$ 的导数为

16 x

$16 x$ ，给定直线

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$ 的斜率为

m = - 16

$m = - 16$ 。要求切线斜率和给定直线

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$ 的斜率相同且位于

f (x) = 8 x^{2}

$f (x) = 8 x^{2}$ 上的点，应代入给定直线

- 16

$- 16$ 的斜率值替换

16 x

$16 x$ 的值。

- 16 = 16 x

$- 16 = 16 x$

解题步骤 5

求解

x

$x$ 的

- 16 = 16 x

$- 16 = 16 x$ ，从而求切线平行于给定直线

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$ 的点的 X 坐标。在本例中，解出的 X 坐标为

x = - 1

$x = - 1$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为

16 x = - 16

$16 x = - 16$ 。

16 x = - 16

$16 x = - 16$

解题步骤 5.2

将

16 x = - 16

$16 x = - 16$ 中的每一项除以

16

$16$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将

16 x = - 16

$16 x = - 16$ 中的每一项都除以

16

$16$ 。

\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去

16

$16$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

用

$- 16$ 除以

$16$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6

将

$- 1$ 代入

$f (x) = 8 x^{2}$ 以求切线与给定直线

$y = - 16 x - 6$ 平行的点的 Y 坐标。在本例中，该点 Y坐标为

$8$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的

$- 1$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2

将

$8$ 乘以

$1$ 。

$f (- 1) = 8$

解题步骤 6.2.3

最终答案为

$8$ 。

$8$

解题步骤 7

切线斜率与给定直线

$y = - 16 x - 6$ 的斜率相同的

$f (x) = 8 x^{2}$ 上的一点，其 x 坐标为

$- 1$ ，y 坐标为

$8$ 。切线斜率与

$y = - 16 x - 6$ 的斜率相同，即为

$m = - 16$ 。

$(- 1, 8), m = - 16$

解题步骤 8

切线在

$(- 1, 8)$ 的斜率为

$m = - 16$ 。

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解题步骤 8.1

使用直线方程的公式求

$b$ 的值。

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解题步骤 8.1.1

使用直线方程的公式求

$b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 8.1.2

将

$m$ 的值代入方程中。

$y = (- 16) \cdot x + b$

解题步骤 8.1.3

将

$x$ 的值代入方程中。

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

解题步骤 8.1.4

将

$y$ 的值代入方程中。

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

解题步骤 8.1.5

求

$b$ 的值。

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解题步骤 8.1.5.1

将方程重写为

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ 。

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

解题步骤 8.1.5.2

将

$- 16$ 乘以

$- 1$ 。

$16 + b = 8$

解题步骤 8.1.5.3

将所有不包含

$b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.1.5.3.1

从等式两边同时减去

$16$ 。

$b = 8 - 16$

解题步骤 8.1.5.3.2

从

$8$ 中减去

$16$ 。

$b = - 8$

解题步骤 8.2

现在已知

$m$ （斜率）和

$b$ （y 轴截距）的值，将其代入

$y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = - 16 x - 8$

解题步骤 9

微积分学 示例

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