微积分学示例

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

解题步骤 1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $16 x$ 。

$y + 6 = - 16 x$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$y = - 16 x - 6$

解题步骤 2

使用斜截式求斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

斜截式为 $y = m x + b$ ，其中 $m$ 是斜率， $b$ 是 y 轴截距。

$y = m x + b$

解题步骤 2.2

使用斜截式，斜率为 $- 16$ 。

$m = - 16$

解题步骤 3

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (2 x)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 x$

解题步骤 4

函数的一阶导数表示该函数在每一点上的斜率。在本例中， $f (x) = 8 x^{2}$ 的导数为 $16 x$ ，给定直线 $y = - 16 x - 6$ 的斜率为 $m = - 16$ 。要求切线斜率和给定直线 $y = - 16 x - 6$ 的斜率相同且位于 $f (x) = 8 x^{2}$ 上的点，应代入给定直线 $- 16$ 的斜率值替换 $16 x$ 的值。

$- 16 = 16 x$

解题步骤 5

求解 $x$ 的 $- 16 = 16 x$ ，从而求切线平行于给定直线 $y = - 16 x - 6$ 的点的 X 坐标。在本例中，解出的 X 坐标为 $x = - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将方程重写为 $16 x = - 16$ 。

$16 x = - 16$

解题步骤 5.2

将 $16 x = - 16$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $16 x = - 16$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

约去 $16$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

用 $- 16$ 除以 $16$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6

将 $- 1$ 代入 $f (x) = 8 x^{2}$ 以求切线与给定直线 $y = - 16 x - 6$ 平行的点的 Y 坐标。在本例中，该点 Y坐标为 $8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 8$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $8$ 。

$8$

解题步骤 7

切线斜率与给定直线 $y = - 16 x - 6$ 的斜率相同的 $f (x) = 8 x^{2}$ 上的一点，其 x 坐标为 $- 1$ ，y 坐标为 $8$ 。切线斜率与 $y = - 16 x - 6$ 的斜率相同，即为 $m = - 16$ 。

$(- 1, 8), m = - 16$

解题步骤 8

切线在 $(- 1, 8)$ 的斜率为 $m = - 16$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 8.1.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (- 16) \cdot x + b$

解题步骤 8.1.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

解题步骤 8.1.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

解题步骤 8.1.5

求 $b$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.5.1

将方程重写为 $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ 。

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

解题步骤 8.1.5.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$16 + b = 8$

解题步骤 8.1.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.5.3.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$b = 8 - 16$

解题步骤 8.1.5.3.2

从 $8$ 中减去 $16$ 。

$b = - 8$

解题步骤 8.2

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = - 16 x - 8$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例