微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

解题步骤 1

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 1.1

计算 $f (x) = x^{3} - 2$ 在 $x = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

解题步骤 1.1.2

化简结果。

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解题步骤 1.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 2$

解题步骤 1.1.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = - 1$

解题步骤 1.1.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

由于 $- 1 = - 1$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 2

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = x^{3} - 2$ 的导数

解题步骤 3

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 4

求定义的补集。

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解题步骤 4.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

解题步骤 4.2

重新排序。

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解题步骤 4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

解题步骤 4.2.2

移动 $x$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

解题步骤 4.2.3

移动 $x^{3}$ 。

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

解题步骤 4.2.4

移动 $3 h x^{2}$ 。

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

解题步骤 4.2.5

将 $3 h^{2} x$ 和 $h^{3}$ 重新排序。

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

解题步骤 4.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

解题步骤 5

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

解题步骤 6.1.3

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

解题步骤 6.1.4

将 $h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

解题步骤 6.1.6

将 $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

解题步骤 6.1.7

从 $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 6.1.7.1

从 $h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

解题步骤 6.1.7.2

从 $3 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

解题步骤 6.1.7.3

从 $3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

解题步骤 6.1.7.4

从 $h (h^{2}) + h (3 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

解题步骤 6.1.7.5

从 $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 6.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

解题步骤 6.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

解题步骤 6.2.2.2

移动 $h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $3 x h$ 和 $3 x^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

解题步骤 7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

解题步骤 8

计算 $3 x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

解题步骤 9

因为项 $3 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

解题步骤 11

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

解题步骤 11.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

乘以 $3 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 12.1.1.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

解题步骤 12.1.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

解题步骤 12.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 x^{2} + 0 + 0$

解题步骤 12.2

合并 $3 x^{2} + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 12.2.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 12.2.2

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 13

求斜率 $m$ 。在本例中，即 $m = 3$ 。

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解题步骤 13.1

去掉圆括号。

$m = 3 \cdot 1^{2}$

解题步骤 13.2

化简 $3 \cdot 1^{2}$ 。

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解题步骤 13.2.1

一的任意次幂都为一。

$m = 3 \cdot 1$

解题步骤 13.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$m = 3$

解题步骤 14

斜率为 $m = 3$ ，该点是 $(1, - 1)$ 。

$m = 3, (1, - 1)$

解题步骤 15

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 15.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 15.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (3) \cdot x + b$

解题步骤 15.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (3) \cdot (1) + b$

解题步骤 15.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

解题步骤 15.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 15.5.1

将方程重写为 $(3) \cdot (1) + b = - 1$ 。

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

解题步骤 15.5.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + b = - 1$

解题步骤 15.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 15.5.3.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$b = - 1 - 3$

解题步骤 15.5.3.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$b = - 4$

解题步骤 16

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 3 x - 4$

解题步骤 17

微积分学 示例

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