微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

解题步骤 1

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 1.1

计算 $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 在 $x = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.1.2

化简结果。

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解题步骤 1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.1.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 5 + 6$

解题步骤 1.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.1.2.2.1

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$f (1) = - 4 + 6$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$f (1) = 2$

解题步骤 1.1.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 1.2

由于 $2 = 2$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 2

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 的导数

解题步骤 3

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 4

求定义的补集。

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解题步骤 4.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 4.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ 。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

解题步骤 4.2

重新排序。

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解题步骤 4.2.1

移动 $- 5 x$ 。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

解题步骤 4.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

解题步骤 4.2.3

将 $2 h x$ 和 $h^{2}$ 重新排序。

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

解题步骤 4.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

解题步骤 5

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

解题步骤 6.1.2

化简。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

解题步骤 6.1.3

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

解题步骤 6.1.4

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

解题步骤 6.1.6

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

解题步骤 6.1.7

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

解题步骤 6.1.8

将 $h^{2} + 2 h x - 5 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

解题步骤 6.1.9

从 $h^{2} + 2 h x - 5 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 6.1.9.1

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

解题步骤 6.1.9.2

从 $2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

解题步骤 6.1.9.3

从 $- 5 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

解题步骤 6.1.9.4

从 $h (h) + h (2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

解题步骤 6.1.9.5

从 $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

解题步骤 6.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $h + 2 x - 5$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

解题步骤 6.2.2

将 $h$ 和 $2 x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

解题步骤 7.2

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

解题步骤 7.3

计算 $5$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

解题步骤 8

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x - 1 \cdot 5$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$2 x - 5$

解题步骤 10

化简 $2 (1) - 5$ 。

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解题步骤 10.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = 2 - 5$

解题步骤 10.2

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$m = - 3$

解题步骤 11

斜率为 $m = - 3$ ，该点是 $(1, 2)$ 。

$m = - 3, (1, 2)$

解题步骤 12

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 12.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 12.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (- 3) \cdot x + b$

解题步骤 12.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

解题步骤 12.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

解题步骤 12.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 12.5.1

将方程重写为 $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ 。

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

解题步骤 12.5.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 + b = 2$

解题步骤 12.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.5.3.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$b = 2 + 3$

解题步骤 12.5.3.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$b = 5$

解题步骤 13

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = - 3 x + 5$

解题步骤 14

微积分学 示例

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