微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

解题步骤 1

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 1.1

计算 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 在 $x = 0$ 处的值。

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解题步骤 1.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

解题步骤 1.1.2

化简结果。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = \frac{1}{1}$

解题步骤 1.1.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (0) = 1$

解题步骤 1.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.2

由于 $1 = 1$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 2

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 的导数

解题步骤 3

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 4

求定义的补集。

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解题步骤 4.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $\frac{1}{x + h + 1}$ 。

$\frac{1}{x + h + 1}$

解题步骤 4.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 5

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

要将 $\frac{1}{x + h + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

解题步骤 6.1.2

要将 $- \frac{1}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

解题步骤 6.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $\frac{1}{x + h + 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.3.3

重新排序 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.6

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.1.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 6.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 6.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

将 $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 6.3.2

从 $- h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 6.3.3

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 6.3.4

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

因为项 $- 1$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 7.2

因为项 $\frac{1}{x + 1}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

解题步骤 7.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

解题步骤 7.4

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

解题步骤 7.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 7.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 7.7

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

解题步骤 8

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 9.2

乘以 $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

解题步骤 9.2.2

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

解题步骤 9.2.3

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 9.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 10

求斜率 $m$ 。在本例中，即 $m = - 1$ 。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

解题步骤 10.2

去掉圆括号。

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

解题步骤 10.3

化简 $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 10.3.1

化简分母。

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解题步骤 10.3.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 10.3.1.2

一的任意次幂都为一。

$m = - \frac{1}{1}$

解题步骤 10.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 10.3.2.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1.1

约去公因数。

$m = - \frac{1}{1}$

解题步骤 10.3.2.1.2

重写表达式。

$m = - 1 \cdot 1$

解题步骤 10.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$m = - 1$

解题步骤 11

斜率为 $m = - 1$ ，该点是 $(0, 1)$ 。

$m = - 1, (0, 1)$

解题步骤 12

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 12.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 12.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (- 1) \cdot x + b$

解题步骤 12.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

解题步骤 12.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

解题步骤 12.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 12.5.1

将方程重写为 $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ 。

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

解题步骤 12.5.2

化简 $(- 1) \cdot (0) + b$ 。

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解题步骤 12.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + b = 1$

解题步骤 12.5.2.2

将 $0$ 和 $b$ 相加。

$b = 1$

解题步骤 13

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = - x + 1$

解题步骤 14

微积分学 示例

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