微积分学示例

$y = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 5 + 0.6 (x + h) - 0.3 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

运用分配律。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 ((x + h) (x + h))$

解题步骤 2.1.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

运用分配律。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x (x + h) + h (x + h))$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

运用分配律。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

运用分配律。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 2.1.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 2.1.2.1.4.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.4.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.1.4.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.1.5

运用分配律。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.3 (2 h x) - 0.3 h^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.6

将 $2$ 乘以 $- 0.3$ 。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$ 。

$5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $5$ 。

$0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 5$

解题步骤 2.2.2

移动 $0.6 x$ 。

$0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 x + 5$

解题步骤 2.2.3

移动 $0.6 h$ 。

$- 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

解题步骤 2.2.4

移动 $- 0.3 x^{2}$ 。

$- 0.6 h x - 0.3 h^{2} - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

解题步骤 2.2.5

将 $- 0.6 h x$ 和 $- 0.3 h^{2}$ 重新排序。

$- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})$ 中分解出因数 $0.1$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.1.1.1.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.1.1.2

移动 $5$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (0.6 x - 0.3 x^{2} + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.1.3

将 $0.6 x$ 和 $- 0.3 x^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

从 $- 0.3 h^{2}$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.3

从 $- 0.6 x h$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.4

从 $- 0.3 x^{2}$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.5

从 $0.6 h$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.6

从 $0.6 x$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.7

从 $5$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.1.1.8

从 $- (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

解题步骤 4.1.1.9

从 $0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h)$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

解题步骤 4.1.1.10

从 $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

解题步骤 4.1.1.11

从 $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h)$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

解题步骤 4.1.1.12

从 $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x)$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

解题步骤 4.1.1.13

从 $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50)$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

解题步骤 4.1.1.14

从 $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2}) - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 0.3$ 乘以 $- 10$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $0.6$ 乘以 $- 10$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 10 \cdot 5)}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 10$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 50)}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 3 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 6 x - 50)}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 50 - 50)}{h}$

解题步骤 4.1.6

从 $50$ 中减去 $50$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 0)}{h}$

解题步骤 4.1.7

将 $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

解题步骤 4.1.8

以因式分解的形式重写 $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ 。

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解题步骤 4.1.8.1

从 $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.1.8.1.1

从 $- 3 h^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.2

从 $- 6 x h$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.3

从 $0 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 6 h + 0 x)}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.4

从 $6 h$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 0 x)}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.5

从 $0 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.6

从 $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.7

从 $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.8

从 $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x))}{h}$

解题步骤 4.1.8.1.9

从 $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h + 0 x))}{h}$

解题步骤 4.1.8.2

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0 x))}{h}$

解题步骤 4.1.8.3

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0))}{h}$

解题步骤 4.1.8.4

将 $- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h))}{h}$

解题步骤 4.1.8.5

将 $- h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 2 h))}{h}$

解题步骤 4.1.8.6

从 $- h^{2} - 2 x h + 2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.8.6.1

从 $- h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) - 2 x h + 2 h))}{h}$

解题步骤 4.1.8.6.2

从 $- 2 x h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 2 h))}{h}$

解题步骤 4.1.8.6.3

从 $2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

解题步骤 4.1.8.6.4

从 $h (- h) + h (- 2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

解题步骤 4.1.8.6.5

从 $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x + 2)))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 \cdot (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

解题步骤 4.1.9

将 $0.1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $0.3 (- h - 2 x + 2)$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h - 2 x + 2)$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h) + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0.3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

解题步骤 4.3.2

将 $- 2$ 乘以 $0.3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.3 \cdot 2$

解题步骤 4.3.3

将 $0.3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.6$

解题步骤 4.4

将 $- 0.3 h$ 和 $- 0.6 x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.6 x - 0.3 h + 0.6$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{h \to 0} 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

解题步骤 5.2

计算 $0.6 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

解题步骤 5.3

因为项 $0.3$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 0.6$

解题步骤 5.4

计算 $0.6$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + 0.6$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- 0.6 x - 0.3 \cdot 0 + 0.6$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $- 0.3$ 乘以 $0$ 。

$- 0.6 x + 0 + 0.6$

解题步骤 7.2

将 $- 0.6 x$ 和 $0$ 相加。

$- 0.6 x + 0.6$

解题步骤 8

微积分学 示例

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