微积分学示例

$y = 5 x^{3} - 4 x$ , $(1, 1)$

解题步骤 1

将 $y = 5 x^{3} - 4 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5 x^{3} - 4 x$

解题步骤 2

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 2.1

计算 $f (x) = 5 x^{3} - 4 x$ 在 $x = 1$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 5 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 5 - 4$

解题步骤 2.1.2.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 2.2

由于 $1 = 1$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 3

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = 5 x^{3} - 4 x$ 的导数

解题步骤 4

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 5

求定义的补集。

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解题步骤 5.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 4 (x + h)$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 4 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.5

运用分配律。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

解题步骤 5.1.2.2

最终答案为 $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$ 。

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

解题步骤 5.2

重新排序。

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解题步骤 5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

解题步骤 5.2.2

移动 $x$ 。

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

解题步骤 5.2.3

移动 $- 4 x$ 。

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 4 h - 4 x$

解题步骤 5.2.4

移动 $5 x^{3}$ 。

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

解题步骤 5.2.5

移动 $15 h x^{2}$ 。

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

解题步骤 5.2.6

将 $15 h^{2} x$ 和 $5 h^{3}$ 重新排序。

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

解题步骤 5.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 4 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 4 x$

解题步骤 6

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - (5 x^{3} - 4 x)}{h}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - (5 x^{3}) - (- 4 x)}{h}$

解题步骤 7.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - 5 x^{3} - (- 4 x)}{h}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - 5 x^{3} + 4 x}{h}$

解题步骤 7.1.4

从 $5 x^{3}$ 中减去 $5 x^{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h - 4 x + 0 + 4 x}{h}$

解题步骤 7.1.5

将 $5 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h - 4 x + 4 x}{h}$

解题步骤 7.1.6

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h + 0}{h}$

解题步骤 7.1.7

将 $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h}{h}$

解题步骤 7.1.8

从 $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 7.1.8.1

从 $5 h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h}{h}$

解题步骤 7.1.8.2

从 $15 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 4 h}{h}$

解题步骤 7.1.8.3

从 $15 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 4 h}{h}$

解题步骤 7.1.8.4

从 $- 4 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

解题步骤 7.1.8.5

从 $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

解题步骤 7.1.8.6

从 $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

解题步骤 7.1.8.7

从 $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 4$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4)}{h}$

解题步骤 7.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4)}{h}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4$

解题步骤 7.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 4$

解题步骤 7.2.2.2

移动 $5 h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 4$

解题步骤 7.2.2.3

将 $15 x h$ 和 $15 x^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 4$

解题步骤 8

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

解题步骤 9

计算 $15 x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

解题步骤 10

因为项 $15 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

解题步骤 11

因为项 $5$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 4$

解题步骤 13

计算 $4$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 4$

解题步骤 14

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 4$

解题步骤 14.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

乘以 $15 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 15.1.1.1

将 $0$ 乘以 $15$ 。

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4$

解题步骤 15.1.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4$

解题步骤 15.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 15.1.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 15.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$15 x^{2} + 0 + 0 - 4$

解题步骤 15.2

合并 $15 x^{2} + 0 + 0 - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 15.2.1

将 $15 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$15 x^{2} + 0 - 4$

解题步骤 15.2.2

将 $15 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$15 x^{2} - 4$

解题步骤 16

求斜率 $m$ 。在本例中，即 $m = 11$ 。

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解题步骤 16.1

去掉圆括号。

$m = 15 \cdot 1^{2} - 4$

解题步骤 16.2

化简 $15 \cdot 1^{2} - 4$ 。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$m = 15 \cdot 1 - 4$

解题步骤 16.2.1.2

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$m = 15 - 4$

解题步骤 16.2.2

从 $15$ 中减去 $4$ 。

$m = 11$

解题步骤 17

斜率为 $m = 11$ ，该点是 $(1, 1)$ 。

$m = 11, (1, 1)$

解题步骤 18

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 18.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 18.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (11) \cdot x + b$

解题步骤 18.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (11) \cdot (1) + b$

解题步骤 18.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$1 = (11) \cdot (1) + b$

解题步骤 18.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 18.5.1

将方程重写为 $(11) \cdot (1) + b = 1$ 。

$(11) \cdot (1) + b = 1$

解题步骤 18.5.2

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$11 + b = 1$

解题步骤 18.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 18.5.3.1

从等式两边同时减去 $11$ 。

$b = 1 - 11$

解题步骤 18.5.3.2

从 $1$ 中减去 $11$ 。

$b = - 10$

解题步骤 19

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 11 x - 10$

解题步骤 20

微积分学 示例

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