微积分学示例

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 + \sin (2 x) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (2 x) = - 1$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$2 x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4

将 $2 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.3.2

乘以 $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 2.6.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.6.3

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.6.3.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6.3.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.7

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.8

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.8.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 2.8.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.8.3

合并分数。

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解题步骤 2.8.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.8.4

化简分子。

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解题步骤 2.8.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 2.8.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.8.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.9

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.10

合并答案。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

集合符号：

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ ，对于任意整数 $n$

值域： $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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