微积分学示例

$f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ , $(1, - 3)$

解题步骤 1

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 1.1

计算 $f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ 在 $x = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = ({(1)}^{3} - 3 + 1) ((1) + 2)$

解题步骤 1.1.2

化简结果。

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解题步骤 1.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = (1 - 3 + 1) ((1) + 2)$

解题步骤 1.1.2.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f (1) = (- 2 + 1) ((1) + 2)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - 1 ((1) + 2)$

解题步骤 1.1.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = - 1 \cdot 3$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = - 3$

解题步骤 1.1.2.6

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 1.2

由于 $- 3 = - 3$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 2

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ 的导数

解题步骤 3

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 4

求定义的补集。

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解题步骤 4.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = ({(x + h)}^{3} - 3 + 1) ((x + h) + 2)$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 + 1) ((x + h) + 2)$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$f (x + h) = (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2) ((x + h) + 2)$

解题步骤 4.1.2.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2) (x + h + 2)$ 。

$f (x + h) = x^{3} x + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4

化简项。

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解题步骤 4.1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.4.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.1.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.1.2.4.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x + h) = x^{3 + 1} + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.1.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.2

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 \cdot x^{3} + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.3.1

移动 $x$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 (x \cdot x^{2}) h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.1.2.4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{1 + 2} h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.4

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.4.1

移动 $h$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} (h \cdot h) + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.4.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.6.1

移动 $x$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 (x \cdot x) h^{2} + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.7

通过指数相加将 $h^{2}$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.7.1

移动 $h$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x (h \cdot h^{2}) + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.7.2

将 $h$ 乘以 $h^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.7.2.1

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x (h \cdot h^{2}) + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{1 + 2} + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.9

通过指数相加将 $h^{3}$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.9.1

将 $h^{3}$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.9.1.1

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3 + 1} + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.9.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.10

将 $2$ 移到 $h^{3}$ 的左侧。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 \cdot h^{3} - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4.1.11

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.1.2.4.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1.2.4.2.1

将 $x^{3} h$ 和 $3 x^{3} h$ 相加。

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.1.2.4.2.2

将 $3 x^{2} h^{2}$ 和 $3 x^{2} h^{2}$ 相加。

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.1.2.5

将 $3 x h^{3}$ 和 $h^{3} x$ 相加。

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解题步骤 4.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 h^{3} x + h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $3 h^{3} x$ 和 $h^{3} x$ 相加。

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.1.2.6

最终答案为 $x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.2

重新排序。

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解题步骤 4.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.2.3

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.2.4

移动 $x$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

解题步骤 4.2.5

移动 $- 2 x$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.2.6

移动 $2 x^{3}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.2.7

移动 $6 h x^{2}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.2.8

移动 $6 h^{2} x$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.2.9

移动 $x^{4}$ 。

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.2.10

移动 $4 h x^{3}$ 。

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.2.11

移动 $6 h^{2} x^{2}$ 。

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.2.12

将 $4 h^{3} x$ 和 $h^{4}$ 重新排序。

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

解题步骤 4.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4$

解题步骤 5

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - (x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4)}{h}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - (2 x^{3}) - (- 2 x) + 4}{h}$

解题步骤 6.1.2

化简。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} - (- 2 x) + 4}{h}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

解题步骤 6.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

解题步骤 6.1.3

从 $x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 + 0 - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

解题步骤 6.1.4

将 $h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

解题步骤 6.1.5

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 0 + 2 x + 4}{h}$

解题步骤 6.1.6

将 $h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 2 x + 4}{h}$

解题步骤 6.1.7

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h + 0 - 4 + 4}{h}$

解题步骤 6.1.8

将 $h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 4 + 4}{h}$

解题步骤 6.1.9

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h + 0}{h}$

解题步骤 6.1.10

将 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11

从 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 6.1.11.1

从 $h^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11.2

从 $4 h^{3} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11.3

从 $6 h^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11.4

从 $4 h x^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11.5

从 $2 h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11.6

从 $6 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11.7

从 $6 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) - 2 h}{h}$

解题步骤 6.1.11.8

从 $- 2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

解题步骤 6.1.11.9

从 $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

解题步骤 6.1.11.10

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

解题步骤 6.1.11.11

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

解题步骤 6.1.11.12

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (2 h^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

解题步骤 6.1.11.13

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2}) + h (6 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

解题步骤 6.1.11.14

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x) + h (6 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

解题步骤 6.1.11.15

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2}) + h \cdot - 2$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2)}{h}$

解题步骤 6.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2)}{h}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1

移动 $h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2.2

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2.3

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2.4

移动 $2 h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2.5

移动 $6 x h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2.6

移动 $h^{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2.7

移动 $4 x h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

解题步骤 6.2.2.8

将 $6 x^{2} h$ 和 $4 x^{3}$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

解题步骤 7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 8

计算 $4 x^{3}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 9

因为项 $6 x^{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 10

因为项 $4 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $h^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 13

计算 $6 x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 14

因为项 $6 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 15

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 16

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 17

计算 $2$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 18

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 18.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 18.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 18.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 18.4

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 18.5

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19

化简答案。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

乘以 $6 x^{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 19.1.1.1

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0 + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.3

乘以 $4 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 19.1.3.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 x + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.3.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0 + 6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.5

乘以 $6 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 19.1.5.1

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0 + 6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.5.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0 + 6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0 + 6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0 + 6 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.1.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0 + 6 x^{2} + 0 + 0 - 2$

解题步骤 19.2

合并 $4 x^{3} + 0 + 0 + 0 + 6 x^{2} + 0 + 0 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 19.2.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 6 x^{2} + 0 + 0 - 2$

解题步骤 19.2.2

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 0 + 6 x^{2} + 0 + 0 - 2$

解题步骤 19.2.3

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0 + 0 - 2$

解题步骤 19.2.4

将 $4 x^{3} + 6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0 - 2$

解题步骤 19.2.5

将 $4 x^{3} + 6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 2$

解题步骤 20

求斜率 $m$ 。在本例中，即 $m = 8$ 。

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解题步骤 20.1

去掉圆括号。

$m = 4 \cdot 1^{3} + 6 {(1)}^{2} - 2$

解题步骤 20.2

去掉圆括号。

$m = 4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 2$

解题步骤 20.3

化简 $4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 2$ 。

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解题步骤 20.3.1

化简每一项。

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解题步骤 20.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$m = 4 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 2$

解题步骤 20.3.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$m = 4 + 6 \cdot 1^{2} - 2$

解题步骤 20.3.1.3

一的任意次幂都为一。

$m = 4 + 6 \cdot 1 - 2$

解题步骤 20.3.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$m = 4 + 6 - 2$

解题步骤 20.3.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 20.3.2.1

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$m = 10 - 2$

解题步骤 20.3.2.2

从 $10$ 中减去 $2$ 。

$m = 8$

解题步骤 21

斜率为 $m = 8$ ，该点是 $(1, - 3)$ 。

$m = 8, (1, - 3)$

解题步骤 22

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 22.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 22.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (8) \cdot x + b$

解题步骤 22.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (8) \cdot (1) + b$

解题步骤 22.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$- 3 = (8) \cdot (1) + b$

解题步骤 22.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 22.5.1

将方程重写为 $(8) \cdot (1) + b = - 3$ 。

$(8) \cdot (1) + b = - 3$

解题步骤 22.5.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 + b = - 3$

解题步骤 22.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 22.5.3.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$b = - 3 - 8$

解题步骤 22.5.3.2

从 $- 3$ 中减去 $8$ 。

$b = - 11$

解题步骤 23

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 8 x - 11$

解题步骤 24

微积分学 示例

微积分学示例