微积分学示例

$32 e^{x} - e^{2 x}$

解题步骤 1

将 $32 e^{x} - e^{2 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $32 e^{x} - e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

解题步骤 2.1.1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

解题步骤 2.1.2.3.6

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

解题步骤 2.1.2.3.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ 。

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

解题步骤 2.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2.2

使 $u = e^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{x}$ 。

$32 u - 4 u^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2.3

从 $32 u - 4 u^{2}$ 中分解出因数 $4 u$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.1

从 $32 u$ 中分解出因数 $4 u$ 。

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2.3.2

从 $- 4 u^{2}$ 中分解出因数 $4 u$ 。

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

解题步骤 2.2.2.3.3

从 $4 u (8) + 4 u (- u)$ 中分解出因数 $4 u$ 。

$4 u (8 - u) = 0$

解题步骤 2.2.2.4

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.2.5

将 $8 - e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $8 - e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$8 - e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.5.2

求解 $x$ 的 $8 - e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$- e^{x} = - 8$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $- e^{x} = - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

将 $- e^{x} = - 8$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.5.2.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$e^{x} = 8$

解题步骤 2.2.5.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

解题步骤 2.2.5.2.4

展开左边。

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解题步骤 2.2.5.2.4.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (8)$

解题步骤 2.2.5.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

解题步骤 2.2.5.2.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (8)$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ 成立的所有值。

$x = \ln (8)$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \ln (8))$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $32$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

解题步骤 5.2.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 32 - 4$

解题步骤 5.2.2

从 $32$ 中减去 $4$ 。

$f'' (0) = 28$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $28$ 。

$28$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \ln (8))$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \ln (8))$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(\ln (8), \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $32 e^{5} - 4 e^{10}$ 。

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(\ln (8), \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (5)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\ln (8), \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \ln (8))$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\ln (8), \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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