微积分学示例

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{4 x + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$4 x + 1 \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$4 x \geq - 1$

解题步骤 1.2.2

将 $4 x \geq - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $4 x \geq - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x \geq - \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

区间计数法：

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

解题步骤 5

使 $u = 4 x + 1$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 4 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $4 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $4 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 4 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 5.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 4 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$u_{upper} = 24 + 1$

解题步骤 5.5.2

将 $24$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 25$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

解题步骤 6

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $25$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.3.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $125$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.6

将 $2$ 乘以 $125$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.7

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

解题步骤 10.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

解题步骤 10.2.9

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

解题步骤 10.2.10

从 $250$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

解题步骤 10.2.11

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{248}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

解题步骤 10.2.12

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

解题步骤 10.2.13

约去 $248$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.13.1

从 $248$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

解题步骤 10.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.13.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

解题步骤 10.2.13.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

解题步骤 10.2.13.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

解题步骤 11.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

解题步骤 12.1.2

从 $62$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

解题步骤 12.1.3

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

解题步骤 12.1.4

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

解题步骤 12.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{31}{3}$ 。

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

解题步骤 12.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{31}{9}$

解题步骤 13

微积分学 示例

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