微积分学示例

$y = x^{4 \cos (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{4 \cos (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $4 \cos (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{4 \cos (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{4 \cos (x) \ln (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 \cos (x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 \cos (x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $4 \cos (x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cos (x) \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ 。

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} (4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

解题步骤 3.2

将 $4$ 移到 $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ 的左侧。

$4 \cdot e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 6

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 8.2

合并项。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{\cos (x)}{x}$ 和 $4$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{x} e^{4 \cos (x) \ln (x)} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{\cos (x) \cdot 4}{x}$ 和 $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 8.2.3

将 $4$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 8.2.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$- 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$

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