微积分学示例

${(x + 1)}^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$4 {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x + 1)}^{3} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x + 1)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 {(x + 1)}^{3}$ 。

$4 {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 {(x + 1)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 {(x + 1)}^{3} = 0$

解题步骤 2.2

将 $4 {(x + 1)}^{3} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $4 {(x + 1)}^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 {(x + 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 {(x + 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 ${(x + 1)}^{3}$ 除以 $1$ 。

${(x + 1)}^{3} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

${(x + 1)}^{3} = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 ${(x + 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${((- 1) + 1)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0^{4}$

解题步骤 4.1.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(- 1, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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