微积分学示例

${(x^{3} - 8)}^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{3} - 8$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - 8$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x^{3} - 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{3} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

解题步骤 1.1.2.4.3

重新排序 $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ 的因式。

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ 。

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 ${(x^{3} - 8)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 ${(x^{3} - 8)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.1.3.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.1.4

对 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ 运用乘积法则。

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 ${(x - 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 ${(x - 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2.3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.4.2.4

将 ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1

将 ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 2.4.2.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 2.4.2.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.4.2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.4.2.4

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5

化简。

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解题步骤 2.4.2.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.2.4.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4.2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.2.4.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4.2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4.2.8

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.5

最终解为使 ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 ${(x^{3} - 8)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(0 - 8)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

${(- 8)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.3

对 $- 8$ 进行 $4$ 次方运算。

$4096$

解题步骤 4.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

${(8 - 8)}^{4}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0^{4}$

解题步骤 4.2.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 4096), (2, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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