微积分学示例

$3^{x} \sin (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$3^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) (3^{x} \ln (3))$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ 。

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$

解题步骤 2.2

从 $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ 中分解出因数 $3^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $3^{x} \sin (x) \ln (3)$ 中分解出因数 $3^{x}$ 。

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3)) = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3))$ 中分解出因数 $3^{x}$ 。

$3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

解题步骤 2.4

将 $3^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $3^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$3^{x} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $3^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.4.2.3

$3^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.5

将 $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.3

分离分数。

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.5

用 $\ln (3)$ 除以 $1$ 。

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.6

分离分数。

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 2.5.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 2.5.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0$

解题步骤 2.5.2.10

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\ln (3) \tan (x) = - 1$

解题步骤 2.5.2.11

将 $\ln (3) \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.11.1

将 $\ln (3) \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

解题步骤 2.5.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.11.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.11.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

解题步骤 2.5.2.11.2.1.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{\ln (3)}$

解题步骤 2.5.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.11.3.1

将负号移到分数的前面。

$\tan (x) = - \frac{1}{\ln (3)}$

解题步骤 2.5.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$

解题步骤 2.5.2.13

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.13.1

计算 $\arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$ 。

$x = - 0.73844341$

解题步骤 2.5.2.14

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 0.73844341 - (3.14159265)$

解题步骤 2.5.2.15

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.5.2.15.1

将 $2 π$ 加上 $- 0.73844341 - (3.14159265)$ 。

$x = - 0.73844341 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 2.5.2.15.2

得出的角 $2.40314923$ 是正角度且与 $- 0.73844341 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 2.40314923$

解题步骤 2.5.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.5.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.5.2.17

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.5.2.17.1

将 $π$ 加到 $- 0.73844341$ 以求正角。

$- 0.73844341 + π$

解题步骤 2.5.2.17.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 0.73844341$

解题步骤 2.5.2.17.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.73844341$ 。

$2.40314923$

解题步骤 2.5.2.17.4

列出新角。

$x = 2.40314923$

解题步骤 2.5.2.18

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3^{x} \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2.40314923$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2.40314923$ 替换 $x$ 。

$3^{2.40314923} \sin (2.40314923)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $3$ 进行 $2.40314923$ 次方运算。

$14.01501538 \sin (2.40314923)$

解题步骤 4.1.2.2

将 $14.01501538$ 乘以 $\sin (2.40314923)$ 。

$9.43403393$

解题步骤 4.2

在 $x = 5.54474188$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $5.54474188$ 替换 $x$ 。

$3^{5.54474188} \sin (5.54474188)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $3$ 进行 $5.54474188$ 次方运算。

$442.09357916 \sin (5.54474188)$

解题步骤 4.2.2.2

将 $442.09357916$ 乘以 $\sin (5.54474188)$ 。

$- 297.58981445$

解题步骤 4.3

在 $x = 2.40314923 + 2 π$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $2.40314923 + 2 π$ 替换 $x$ 。

$3^{2.40314923 + 2 π} \sin (2.40314923 + 2 π)$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $2.40314923$ 和 $2 π$ 相加。

$3^{8.68633454} \sin (2.40314923 + 2 π)$

解题步骤 4.3.2.2

对 $3$ 进行 $8.68633454$ 次方运算。

$13945.52395695 \sin (2.40314923 + 2 π)$

解题步骤 4.3.2.3

将 $2.40314923$ 和 $2 π$ 相加。

$13945.52395695 \sin (8.68633454)$

解题步骤 4.3.2.4

将 $13945.52395695$ 乘以 $\sin (8.68633454)$ 。

$9387.25664074$

解题步骤 4.4

在 $x = 2.40314923 + 3 π$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $2.40314923 + 3 π$ 替换 $x$ 。

$3^{2.40314923 + 3 π} \sin (2.40314923 + 3 π)$

解题步骤 4.4.2

化简。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $2.40314923$ 和 $3 π$ 相加。

$3^{11.82792719} \sin (2.40314923 + 3 π)$

解题步骤 4.4.2.2

对 $3$ 进行 $11.82792719$ 次方运算。

$439901.52220938 \sin (2.40314923 + 3 π)$

解题步骤 4.4.2.3

将 $2.40314923$ 和 $3 π$ 相加。

$439901.52220938 \sin (11.82792719)$

解题步骤 4.4.2.4

将 $439901.52220938$ 乘以 $\sin (11.82792719)$ 。

$- 296114.25848054$

解题步骤 4.5

在 $x = 2.40314923 + 4 π$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $2.40314923 + 4 π$ 替换 $x$ 。

$3^{2.40314923 + 4 π} \sin (2.40314923 + 4 π)$

解题步骤 4.5.2

化简。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $2.40314923$ 和 $4 π$ 相加。

$3^{14.96951985} \sin (2.40314923 + 4 π)$

解题步骤 4.5.2.2

对 $3$ 进行 $14.96951985$ 次方运算。

$13876377.0970174 \sin (2.40314923 + 4 π)$

解题步骤 4.5.2.3

将 $2.40314923$ 和 $4 π$ 相加。

$13876377.0970174 \sin (14.96951985)$

解题步骤 4.5.2.4

将 $13876377.0970174$ 乘以 $\sin (14.96951985)$ 。

$9340711.28884108$

解题步骤 4.6

列出所有的点。

$(2.40314923, 9.43403393), (5.54474188, - 297.58981445), (2.40314923 + 2 π, 9387.25664074), (2.40314923 + 3 π, - 296114.25848054), (2.40314923 + 4 π, 9340711.28884108)$

解题步骤 5

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