微积分学示例

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

解题步骤 1.1.6

将 $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ 和 $0$ 相加。

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

解题步骤 1.2

$f (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ 。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

解题步骤 2.2

从 $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ 中分解出因数 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $4 t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $3 t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $2 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $t$ 设为等于 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 2.5

将 $4 t^{2} + 3 t + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $4 t^{2} + 3 t + 2$ 设为等于 $0$ 。

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $t$ 的 $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = 3$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $t$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $2$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $32$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $- 23$ 重写为 $- 1 (23)$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (23)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $2$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $32$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将 $- 23$ 重写为 $- 1 (23)$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (23)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.4.5

从 $i \sqrt{23}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

解题步骤 2.5.2.4.6

从 $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

解题步骤 2.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $2$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

从 $9$ 中减去 $32$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将 $- 23$ 重写为 $- 1 (23)$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (23)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.5.5

从 $- i \sqrt{23}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

解题步骤 2.5.2.5.6

从 $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

解题步骤 2.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ 成立的所有值。

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，计算 $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $t = 0$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $t$ 。

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(0, 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例