微积分学示例

$x^{2} y = 120$

解题步骤 1

将 $x^{2} y = 120$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} y = 120$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{120}{x^{2}}$

$y = \frac{120}{x^{2}}$

$y = \frac{120}{x^{2}}$

$y = \frac{120}{x^{2}}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{120}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$120 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$120 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$120 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

$120 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

$120 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$120 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $120$ 。

$- 240 x^{- 3}$

解题步骤 2.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 240 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.1.5.2

合并项。

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解题步骤 2.1.5.2.1

组合 $- 240$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 240}{x^{3}}$

解题步骤 2.1.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{240}{x^{3}}$

$f' (x) = - \frac{240}{x^{3}}$

$f' (x) = - \frac{240}{x^{3}}$

$f' (x) = - \frac{240}{x^{3}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{240}{x^{3}}$ 。

$- \frac{240}{x^{3}}$

$- \frac{240}{x^{3}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{240}{x^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{240}{x^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$240 = 0$

解题步骤 3.3

因为 $240 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

无解

解题步骤 4

求使导数无意义的值。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{240}{x^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

解题步骤 5

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{120}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 5.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{120}{{(0)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

化简。

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解题步骤 5.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{120}{0}$

解题步骤 5.1.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

无定义

无定义

无定义

解题步骤 6

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$