微积分学示例

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.3

因为 $2 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $4 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.4.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

解题步骤 1.1.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $2 x + 2 y + 2$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2 y + 2 + 0$

解题步骤 1.1.5.3

将 $2 x + 2 y + 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + 2 y + 2$ 。

$2 x + 2 y + 2$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x + 2 y + 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x + 2 y + 2 = 0$

解题步骤 2.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$2 x + 2 = - 2 y$

解题步骤 2.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$2 x = - 2 y - 2$

解题步骤 2.3

将 $2 x = - 2 y - 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $2 x = - 2 y - 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2.4

用 $- y$ 除以 $1$ 。

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.2

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$x = - y - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = - y - 1$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $- y - 1$ 替换 $x$ 。

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

将 ${(- y - 1)}^{2}$ 重写为 $(- y - 1) (- y - 1)$ 。

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y - 1) (- y - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.2.1

运用分配律。

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

运用分配律。

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

运用分配律。

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.4

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.5

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.6

乘以 $- 1 (- y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.6.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.4

运用分配律。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.7

运用分配律。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.8

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.8.1

移动 $y$ 。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.8.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.9

运用分配律。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.1.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

合并 $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1.1

从 $2 y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.2.1.2

将 $y^{2} + 2 y + 1$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.2.1.3

从 $2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.2.1.4

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $- 2 y$ 和 $4 y$ 相加。

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $- 1$ 和 $7$ 相加。

$y^{2} + 2 y + 6$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例