微积分学示例

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 64 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 64$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 36 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $96 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $- 64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.6

从 $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.7

从 $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

解题步骤 2.2.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

解题步骤 2.2.2.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

解题步骤 2.2.2.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

解题步骤 2.2.2.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

解题步骤 2.2.2.3.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

解题步骤 2.2.2.3.5

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

解题步骤 2.2.2.3.6

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$- 8 + 24 - 16$

解题步骤 2.2.2.3.7

将 $- 8$ 和 $24$ 相加。

$16 - 16$

解题步骤 2.2.2.3.8

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$0$

解题步骤 2.2.2.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

解题步骤 2.2.2.5

用 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

解题步骤 2.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

解题步骤 2.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

解题步骤 2.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 8 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

解题步骤 2.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

解题步骤 2.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x^{2} + 8 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 2.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

解题步骤 2.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

解题步骤 2.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $16 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

解题步骤 2.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

解题步骤 2.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x - 16$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

解题步骤 2.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

解题步骤 2.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 2.2.2.6

将 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ 书写为因数的集合。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

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解题步骤 2.2.3.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

解题步骤 2.2.3.1.3

重写多项式。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x - 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.6

最终解为使 $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, 4$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $- 64$ 乘以 $1$ 。

$1 - 12 + 48 - 64$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $1$ 中减去 $12$ 。

$- 11 + 48 - 64$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 11$ 和 $48$ 相加。

$37 - 64$

解题步骤 4.1.2.2.3

从 $37$ 中减去 $64$ 。

$- 27$

解题步骤 4.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

${(4)}^{4} - 12 {(4)}^{3} + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$256 - 12 {(4)}^{3} + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$256 - 12 \cdot 64 + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $64$ 。

$256 - 768 + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$256 - 768 + 48 \cdot 16 - 64 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $48$ 乘以 $16$ 。

$256 - 768 + 768 - 64 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2.1.6

将 $- 64$ 乘以 $4$ 。

$256 - 768 + 768 - 256$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $256$ 中减去 $768$ 。

$- 512 + 768 - 256$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 512$ 和 $768$ 相加。

$256 - 256$

解题步骤 4.2.2.2.3

从 $256$ 中减去 $256$ 。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(1, - 27), (4, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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