微积分学示例

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ 。

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\sec (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{7 π}{6}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{7 π}{6}$ 替换 $x$ 。

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。使表达式取负值，因为正割在第三象限为负。

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.2

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1.2.1.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4.6.5

计算指数。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.5

乘以 $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.5.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.5.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.8

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.1.2.1.9

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.1.2.2

化简项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 20 \sqrt{3}$ 和 $5 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.1.2.2.3

约去 $- 15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.3.1

从 $- 15 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 4.1.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

解题步骤 4.1.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 4.1.2.2.3.2.4

用 $- 5 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$- 5 \sqrt{3}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{11 π}{6}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{11 π}{6}$ 替换 $x$ 。

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.2

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4.6.5

计算指数。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.5

乘以 $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.5.1

组合 $10$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.5.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.2.2.1.7

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.8

乘以 $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.1.8.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.2

化简项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.2.2

从 $20 \sqrt{3}$ 中减去 $5 \sqrt{3}$ 。

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.2.3

约去 $15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1

从 $15 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.4

用 $5 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$5 \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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