微积分学示例

$x^{8} {(x - 4)}^{7}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = {(x - 4)}^{7}$ 。

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{7}] + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 4$ 。

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6} \cdot 1) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6}) + {(x - 4)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6}) + {(x - 4)}^{7} (8 x^{7})$

解题步骤 1.1.3.6

将 $8$ 移到 ${(x - 4)}^{7}$ 的左侧。

$x^{8} (7 {(x - 4)}^{6}) + 8 \cdot {(x - 4)}^{7} x^{7}$

解题步骤 1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

从 $x^{8} (7 {(x - 4)}^{6}) + 8 {(x - 4)}^{7} x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 4)}^{6}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1.1

从 $x^{8} (7 {(x - 4)}^{6})$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 4)}^{6}$ 。

$x^{7} {(x - 4)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 4)}^{7} x^{7}$

解题步骤 1.1.4.1.2

从 $8 {(x - 4)}^{7} x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 4)}^{6}$ 。

$x^{7} {(x - 4)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 4)}^{6} (8 (x - 4))$

解题步骤 1.1.4.1.3

从 $x^{7} {(x - 4)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 4)}^{6} (8 (x - 4))$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 4)}^{6}$ 。

$x^{7} {(x - 4)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 4))$

解题步骤 1.1.4.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = x^{7} {(x - 4)}^{6} (7 x + 8 (x - 4))$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{7} {(x - 4)}^{6} (7 x + 8 (x - 4))$ 。

$x^{7} {(x - 4)}^{6} (7 x + 8 (x - 4))$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{7} {(x - 4)}^{6} (7 x + 8 (x - 4)) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{7} {(x - 4)}^{6} (7 x + 8 (x - 4)) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{7} = 0$

${(x - 4)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 4) = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{7}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $x^{7}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{7} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{7} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[7]{0}$

解题步骤 2.3.2.2

化简 $\sqrt[7]{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{7}$ 。

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

解题步骤 2.3.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 ${(x - 4)}^{6}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 ${(x - 4)}^{6}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 4)}^{6} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 4)}^{6} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.5

将 $7 x + 8 (x - 4)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $7 x + 8 (x - 4)$ 设为等于 $0$ 。

$7 x + 8 (x - 4) = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $7 x + 8 (x - 4) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

化简 $7 x + 8 (x - 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1.1.1

运用分配律。

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$7 x + 8 x - 32 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $7 x$ 和 $8 x$ 相加。

$15 x - 32 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

在等式两边都加上 $32$ 。

$15 x = 32$

解题步骤 2.5.2.3

将 $15 x = 32$ 中的每一项除以 $15$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1

将 $15 x = 32$ 中的每一项都除以 $15$ 。

$\frac{15 x}{15} = \frac{32}{15}$

解题步骤 2.5.2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.2.1

约去 $15$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 x}{15} = \frac{32}{15}$

解题步骤 2.5.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{32}{15}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $x^{7} {(x - 4)}^{6} (7 x + 8 (x - 4)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4, \frac{32}{15}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{8} {(x - 4)}^{7}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{8} {((0) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 {((0) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$0 {(- 4)}^{7}$

解题步骤 4.1.2.3

对 $- 4$ 进行 $7$ 次方运算。

$0 \cdot - 16384$

解题步骤 4.1.2.4

将 $0$ 乘以 $- 16384$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = 4$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

${(4)}^{8} {((4) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

对 $4$ 进行 $8$ 次方运算。

$65536 {((4) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$65536 \cdot 0^{7}$

解题步骤 4.2.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$65536 \cdot 0$

解题步骤 4.2.2.4

将 $65536$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{32}{15}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{32}{15}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{32}{15})}^{8} {((\frac{32}{15}) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

对 $\frac{32}{15}$ 运用乘积法则。

$\frac{32^{8}}{15^{8}} {((\frac{32}{15}) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.3.2.2

对 $32$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{15^{8}} {((\frac{32}{15}) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.3.2.3

对 $15$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{2562890625} {((\frac{32}{15}) - 4)}^{7}$

解题步骤 4.3.2.4

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{1099511627776}{2562890625} {(\frac{32}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

解题步骤 4.3.2.5

组合 $- 4$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{1099511627776}{2562890625} {(\frac{32}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15})}^{7}$

解题步骤 4.3.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1099511627776}{2562890625} {(\frac{32 - 4 \cdot 15}{15})}^{7}$

解题步骤 4.3.2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.7.1

将 $- 4$ 乘以 $15$ 。

$\frac{1099511627776}{2562890625} {(\frac{32 - 60}{15})}^{7}$

解题步骤 4.3.2.7.2

从 $32$ 中减去 $60$ 。

$\frac{1099511627776}{2562890625} {(\frac{- 28}{15})}^{7}$

解题步骤 4.3.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1099511627776}{2562890625} {(- \frac{28}{15})}^{7}$

解题步骤 4.3.2.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.9.1

对 $- \frac{28}{15}$ 运用乘积法则。

$\frac{1099511627776}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{28}{15})}^{7})$

解题步骤 4.3.2.9.2

对 $\frac{28}{15}$ 运用乘积法则。

$\frac{1099511627776}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{28^{7}}{15^{7}})$

解题步骤 4.3.2.10

对 $- 1$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{2562890625} (- \frac{28^{7}}{15^{7}})$

解题步骤 4.3.2.11

对 $28$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{2562890625} (- \frac{13492928512}{15^{7}})$

解题步骤 4.3.2.12

对 $15$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{2562890625} (- \frac{13492928512}{170859375})$

解题步骤 4.3.2.13

乘以 $\frac{1099511627776}{2562890625} (- \frac{13492928512}{170859375})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.13.1

将 $\frac{1099511627776}{2562890625}$ 乘以 $\frac{13492928512}{170859375}$ 。

$- \frac{1099511627776 \cdot 13492928512}{2562890625 \cdot 170859375}$

解题步骤 4.3.2.13.2

将 $1099511627776$ 乘以 $13492928512$ 。

$- \frac{14835631791694321549312}{2562890625 \cdot 170859375}$

解题步骤 4.3.2.13.3

将 $2562890625$ 乘以 $170859375$ 。

$- \frac{14835631791694321549312}{437893890380859375}$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (4, 0), (\frac{32}{15}, - \frac{14835631791694321549312}{437893890380859375})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例