微积分学示例

$x^{4} - 3 x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 9 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 9 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

从 $4 x^{3} - 9 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (4 x) - 9 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 9 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 9$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (4 x - 9) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$4 x - 9 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $4 x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $4 x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 9 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $4 x - 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$4 x = 9$

解题步骤 2.5.2.2

将 $4 x = 9$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $4 x = 9$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{9}{4}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $x^{2} (4 x - 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{9}{4}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{4} - 3 x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 3 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 3 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{9}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{9}{4}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{9}{4})}^{4} - 3 {(\frac{9}{4})}^{3}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $\frac{9}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{9^{4}}{4^{4}} - 3 {(\frac{9}{4})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $9$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{6561}{4^{4}} - 3 {(\frac{9}{4})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{6561}{256} - 3 {(\frac{9}{4})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $\frac{9}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{6561}{256} - 3 \frac{9^{3}}{4^{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.5

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{6561}{256} - 3 \frac{729}{4^{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.6

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{6561}{256} - 3 (\frac{729}{64})$

解题步骤 4.2.2.1.7

乘以 $- 3 (\frac{729}{64})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.7.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{729}{64}$ 。

$\frac{6561}{256} + \frac{- 3 \cdot 729}{64}$

解题步骤 4.2.2.1.7.2

将 $- 3$ 乘以 $729$ 。

$\frac{6561}{256} + \frac{- 2187}{64}$

解题步骤 4.2.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{6561}{256} - \frac{2187}{64}$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $- \frac{2187}{64}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{6561}{256} - \frac{2187}{64} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $256$ 的形式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $\frac{2187}{64}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{6561}{256} - \frac{2187 \cdot 4}{64 \cdot 4}$

解题步骤 4.2.2.3.2

将 $64$ 乘以 $4$ 。

$\frac{6561}{256} - \frac{2187 \cdot 4}{256}$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{6561 - 2187 \cdot 4}{256}$

解题步骤 4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.5.1

将 $- 2187$ 乘以 $4$ 。

$\frac{6561 - 8748}{256}$

解题步骤 4.2.2.5.2

从 $6561$ 中减去 $8748$ 。

$\frac{- 2187}{256}$

解题步骤 4.2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2187}{256}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (\frac{9}{4}, - \frac{2187}{256})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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