微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{n}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ 。

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{n + 1}$ 和 $u^{n + 1}$ 。

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 4.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

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