微积分学示例

$36 x - 9 \tan (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $36 x - 9 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 9 \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 9 \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [36 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$36 + \frac{d}{d x} [- 9 \tan (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 \tan (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$36 - 9 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = 36 - 9 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $36 - 9 \sec^{2} (x)$ 。

$36 - 9 \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $36 - 9 \sec^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$36 - 9 \sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $36$ 。

$- 9 \sec^{2} (x) = - 36$

解题步骤 2.3

将 $- 9 \sec^{2} (x) = - 36$ 中的每一项除以 $- 9$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 9 \sec^{2} (x) = - 36$ 中的每一项都除以 $- 9$ 。

$\frac{- 9 \sec^{2} (x)}{- 9} = \frac{- 36}{- 9}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 9 \sec^{2} (x)}{- 9} = \frac{- 36}{- 9}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\sec^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (x) = \frac{- 36}{- 9}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $- 36$ 除以 $- 9$ 。

$\sec^{2} (x) = 4$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (x) = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 2.5

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sec (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (x) = \pm 2$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (x) = 2$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (x) = - 2$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (x) = 2, - 2$

解题步骤 2.7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 2$

解题步骤 2.8

在 $\sec (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (2)$

解题步骤 2.8.2

化简右边。

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解题步骤 2.8.2.1

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.8.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.8.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 2.8.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.8.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.8.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.8.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 2.8.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.8.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 2.8.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 2.8.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.8.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.9

在 $\sec (x) = - 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.9.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- 2)$

解题步骤 2.9.2

化简右边。

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解题步骤 2.9.2.1

$arcsec (- 2)$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.9.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.9.4

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 2.9.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.9.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.9.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.9.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 2.9.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.9.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 2.9.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.9.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.9.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.10

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\sec (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $36 x - 9 \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{π}{3}) - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{π}{3} - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{π}{3} - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.3

重写表达式。

$12 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$12 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{7 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{7 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{7 π}{3}) - 9 \tan (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{7 π}{3} - 9 \tan (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{7 π}{3} - 9 \tan (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.3

重写表达式。

$12 (7 π) - 9 \tan (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

将 $7$ 乘以 $12$ 。

$84 π - 9 \tan (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$84 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$84 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{13 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{13 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{13 π}{3}) - 9 \tan (\frac{13 π}{3})$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{13 π}{3} - 9 \tan (\frac{13 π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{13 π}{3} - 9 \tan (\frac{13 π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.3

重写表达式。

$12 (13 π) - 9 \tan (\frac{13 π}{3})$

解题步骤 4.3.2.2

将 $13$ 乘以 $12$ 。

$156 π - 9 \tan (\frac{13 π}{3})$

解题步骤 4.3.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$156 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$156 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.4

在 $x = \frac{19 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $\frac{19 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{19 π}{3}) - 9 \tan (\frac{19 π}{3})$

解题步骤 4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{19 π}{3} - 9 \tan (\frac{19 π}{3})$

解题步骤 4.4.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{19 π}{3} - 9 \tan (\frac{19 π}{3})$

解题步骤 4.4.2.1.3

重写表达式。

$12 (19 π) - 9 \tan (\frac{19 π}{3})$

解题步骤 4.4.2.2

将 $19$ 乘以 $12$ 。

$228 π - 9 \tan (\frac{19 π}{3})$

解题步骤 4.4.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$228 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.4.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$228 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.5

在 $x = \frac{25 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $\frac{25 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{25 π}{3}) - 9 \tan (\frac{25 π}{3})$

解题步骤 4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{25 π}{3} - 9 \tan (\frac{25 π}{3})$

解题步骤 4.5.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{25 π}{3} - 9 \tan (\frac{25 π}{3})$

解题步骤 4.5.2.1.3

重写表达式。

$12 (25 π) - 9 \tan (\frac{25 π}{3})$

解题步骤 4.5.2.2

将 $25$ 乘以 $12$ 。

$300 π - 9 \tan (\frac{25 π}{3})$

解题步骤 4.5.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$300 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.5.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$300 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.6

在 $x = \frac{5 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.6.1

代入 $\frac{5 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{5 π}{3}) - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.6.2

化简每一项。

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解题步骤 4.6.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{5 π}{3} - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.6.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{5 π}{3} - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.6.2.1.3

重写表达式。

$12 (5 π) - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.6.2.2

将 $5$ 乘以 $12$ 。

$60 π - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.6.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$60 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.6.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$60 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.6.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$60 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.7

在 $x = \frac{11 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.7.1

代入 $\frac{11 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{11 π}{3}) - 9 \tan (\frac{11 π}{3})$

解题步骤 4.7.2

化简每一项。

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解题步骤 4.7.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{11 π}{3} - 9 \tan (\frac{11 π}{3})$

解题步骤 4.7.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{11 π}{3} - 9 \tan (\frac{11 π}{3})$

解题步骤 4.7.2.1.3

重写表达式。

$12 (11 π) - 9 \tan (\frac{11 π}{3})$

解题步骤 4.7.2.2

将 $11$ 乘以 $12$ 。

$132 π - 9 \tan (\frac{11 π}{3})$

解题步骤 4.7.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$132 π - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.7.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$132 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.7.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$132 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.7.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$132 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.8

在 $x = \frac{17 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.8.1

代入 $\frac{17 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{17 π}{3}) - 9 \tan (\frac{17 π}{3})$

解题步骤 4.8.2

化简每一项。

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解题步骤 4.8.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{17 π}{3} - 9 \tan (\frac{17 π}{3})$

解题步骤 4.8.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{17 π}{3} - 9 \tan (\frac{17 π}{3})$

解题步骤 4.8.2.1.3

重写表达式。

$12 (17 π) - 9 \tan (\frac{17 π}{3})$

解题步骤 4.8.2.2

将 $17$ 乘以 $12$ 。

$204 π - 9 \tan (\frac{17 π}{3})$

解题步骤 4.8.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$204 π - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.8.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$204 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.8.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$204 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.8.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$204 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.9

在 $x = \frac{23 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.9.1

代入 $\frac{23 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{23 π}{3}) - 9 \tan (\frac{23 π}{3})$

解题步骤 4.9.2

化简每一项。

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解题步骤 4.9.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{23 π}{3} - 9 \tan (\frac{23 π}{3})$

解题步骤 4.9.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{23 π}{3} - 9 \tan (\frac{23 π}{3})$

解题步骤 4.9.2.1.3

重写表达式。

$12 (23 π) - 9 \tan (\frac{23 π}{3})$

解题步骤 4.9.2.2

将 $23$ 乘以 $12$ 。

$276 π - 9 \tan (\frac{23 π}{3})$

解题步骤 4.9.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$276 π - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.9.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$276 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.9.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$276 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.9.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$276 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.10

在 $x = \frac{29 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.10.1

代入 $\frac{29 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{29 π}{3}) - 9 \tan (\frac{29 π}{3})$

解题步骤 4.10.2

化简每一项。

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解题步骤 4.10.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{29 π}{3} - 9 \tan (\frac{29 π}{3})$

解题步骤 4.10.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{29 π}{3} - 9 \tan (\frac{29 π}{3})$

解题步骤 4.10.2.1.3

重写表达式。

$12 (29 π) - 9 \tan (\frac{29 π}{3})$

解题步骤 4.10.2.2

将 $29$ 乘以 $12$ 。

$348 π - 9 \tan (\frac{29 π}{3})$

解题步骤 4.10.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$348 π - 9 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.10.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$348 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.10.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$348 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.10.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$348 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.11

在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.11.1

代入 $\frac{2 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{2 π}{3}) - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.11.2

化简每一项。

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解题步骤 4.11.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.11.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{2 π}{3} - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.11.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{2 π}{3} - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.11.2.1.3

重写表达式。

$12 (2 π) - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.11.2.2

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 π - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.11.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$24 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.11.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$24 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.11.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$24 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.12

在 $x = \frac{8 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.12.1

代入 $\frac{8 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{8 π}{3}) - 9 \tan (\frac{8 π}{3})$

解题步骤 4.12.2

化简每一项。

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解题步骤 4.12.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.12.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{8 π}{3} - 9 \tan (\frac{8 π}{3})$

解题步骤 4.12.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{8 π}{3} - 9 \tan (\frac{8 π}{3})$

解题步骤 4.12.2.1.3

重写表达式。

$12 (8 π) - 9 \tan (\frac{8 π}{3})$

解题步骤 4.12.2.2

将 $8$ 乘以 $12$ 。

$96 π - 9 \tan (\frac{8 π}{3})$

解题步骤 4.12.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$96 π - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.12.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$96 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.12.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$96 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.12.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$96 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.13

在 $x = \frac{14 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.13.1

代入 $\frac{14 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{14 π}{3}) - 9 \tan (\frac{14 π}{3})$

解题步骤 4.13.2

化简每一项。

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解题步骤 4.13.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.13.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{14 π}{3} - 9 \tan (\frac{14 π}{3})$

解题步骤 4.13.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{14 π}{3} - 9 \tan (\frac{14 π}{3})$

解题步骤 4.13.2.1.3

重写表达式。

$12 (14 π) - 9 \tan (\frac{14 π}{3})$

解题步骤 4.13.2.2

将 $14$ 乘以 $12$ 。

$168 π - 9 \tan (\frac{14 π}{3})$

解题步骤 4.13.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$168 π - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.13.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$168 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.13.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$168 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.13.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$168 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.14

在 $x = \frac{20 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.14.1

代入 $\frac{20 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{20 π}{3}) - 9 \tan (\frac{20 π}{3})$

解题步骤 4.14.2

化简每一项。

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解题步骤 4.14.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.14.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{20 π}{3} - 9 \tan (\frac{20 π}{3})$

解题步骤 4.14.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{20 π}{3} - 9 \tan (\frac{20 π}{3})$

解题步骤 4.14.2.1.3

重写表达式。

$12 (20 π) - 9 \tan (\frac{20 π}{3})$

解题步骤 4.14.2.2

将 $20$ 乘以 $12$ 。

$240 π - 9 \tan (\frac{20 π}{3})$

解题步骤 4.14.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$240 π - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.14.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$240 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.14.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$240 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.14.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$240 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.15

在 $x = \frac{26 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.15.1

代入 $\frac{26 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{26 π}{3}) - 9 \tan (\frac{26 π}{3})$

解题步骤 4.15.2

化简每一项。

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解题步骤 4.15.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.15.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{26 π}{3} - 9 \tan (\frac{26 π}{3})$

解题步骤 4.15.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{26 π}{3} - 9 \tan (\frac{26 π}{3})$

解题步骤 4.15.2.1.3

重写表达式。

$12 (26 π) - 9 \tan (\frac{26 π}{3})$

解题步骤 4.15.2.2

将 $26$ 乘以 $12$ 。

$312 π - 9 \tan (\frac{26 π}{3})$

解题步骤 4.15.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$312 π - 9 \tan (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 4.15.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$312 π - 9 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.15.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$312 π - 9 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.15.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$312 π + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.16

在 $x = \frac{4 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.16.1

代入 $\frac{4 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{4 π}{3}) - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.16.2

化简每一项。

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解题步骤 4.16.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{4 π}{3} - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.16.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{4 π}{3} - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.16.2.1.3

重写表达式。

$12 (4 π) - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.16.2.2

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$48 π - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.16.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$48 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.16.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$48 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.17

在 $x = \frac{10 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.17.1

代入 $\frac{10 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{10 π}{3}) - 9 \tan (\frac{10 π}{3})$

解题步骤 4.17.2

化简每一项。

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解题步骤 4.17.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.17.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{10 π}{3} - 9 \tan (\frac{10 π}{3})$

解题步骤 4.17.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{10 π}{3} - 9 \tan (\frac{10 π}{3})$

解题步骤 4.17.2.1.3

重写表达式。

$12 (10 π) - 9 \tan (\frac{10 π}{3})$

解题步骤 4.17.2.2

将 $10$ 乘以 $12$ 。

$120 π - 9 \tan (\frac{10 π}{3})$

解题步骤 4.17.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$120 π - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.17.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$120 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.17.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$120 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.18

在 $x = \frac{16 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.18.1

代入 $\frac{16 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{16 π}{3}) - 9 \tan (\frac{16 π}{3})$

解题步骤 4.18.2

化简每一项。

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解题步骤 4.18.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.18.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{16 π}{3} - 9 \tan (\frac{16 π}{3})$

解题步骤 4.18.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{16 π}{3} - 9 \tan (\frac{16 π}{3})$

解题步骤 4.18.2.1.3

重写表达式。

$12 (16 π) - 9 \tan (\frac{16 π}{3})$

解题步骤 4.18.2.2

将 $16$ 乘以 $12$ 。

$192 π - 9 \tan (\frac{16 π}{3})$

解题步骤 4.18.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$192 π - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.18.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$192 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.18.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$192 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.19

在 $x = \frac{22 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.19.1

代入 $\frac{22 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{22 π}{3}) - 9 \tan (\frac{22 π}{3})$

解题步骤 4.19.2

化简每一项。

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解题步骤 4.19.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.19.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{22 π}{3} - 9 \tan (\frac{22 π}{3})$

解题步骤 4.19.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{22 π}{3} - 9 \tan (\frac{22 π}{3})$

解题步骤 4.19.2.1.3

重写表达式。

$12 (22 π) - 9 \tan (\frac{22 π}{3})$

解题步骤 4.19.2.2

将 $22$ 乘以 $12$ 。

$264 π - 9 \tan (\frac{22 π}{3})$

解题步骤 4.19.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$264 π - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.19.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$264 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.19.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$264 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.20

在 $x = \frac{28 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.20.1

代入 $\frac{28 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$36 (\frac{28 π}{3}) - 9 \tan (\frac{28 π}{3})$

解题步骤 4.20.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.20.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.20.2.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (12) \frac{28 π}{3} - 9 \tan (\frac{28 π}{3})$

解题步骤 4.20.2.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 12 \frac{28 π}{3} - 9 \tan (\frac{28 π}{3})$

解题步骤 4.20.2.1.3

重写表达式。

$12 (28 π) - 9 \tan (\frac{28 π}{3})$

解题步骤 4.20.2.2

将 $28$ 乘以 $12$ 。

$336 π - 9 \tan (\frac{28 π}{3})$

解题步骤 4.20.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$336 π - 9 \tan (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.20.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$336 π - 9 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.20.2.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$336 π - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 4.21

列出所有的点。

$(\frac{π}{3}, 12 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{7 π}{3}, 84 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{13 π}{3}, 156 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{19 π}{3}, 228 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{25 π}{3}, 300 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{5 π}{3}, 60 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{3}, 132 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{17 π}{3}, 204 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{23 π}{3}, 276 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{29 π}{3}, 348 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{2 π}{3}, 24 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{8 π}{3}, 96 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{14 π}{3}, 168 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{20 π}{3}, 240 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{26 π}{3}, 312 π + 9 \sqrt{3}), (\frac{4 π}{3}, 48 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{10 π}{3}, 120 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{16 π}{3}, 192 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{22 π}{3}, 264 π - 9 \sqrt{3}), (\frac{28 π}{3}, 336 π - 9 \sqrt{3})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例