微积分学示例

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$12 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [72 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $72 x$ 对 $x$ 的导数是 $72 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} + 72 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} + 72 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{2} + 72 x + 72 + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} + 72 x + 72 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $12 x^{2} + 72 x + 72$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{2} + 72 x + 72$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} + 72 x + 72$ 。

$12 x^{2} + 72 x + 72$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} + 72 x + 72 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} + 72 x + 72 = 0$

解题步骤 2.2

从 $12 x^{2} + 72 x + 72$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) + 72 x + 72 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $72 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) + 12 (6 x) + 72 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $72$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 x^{2} + 12 (6 x) + 12 \cdot 6 = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $12 x^{2} + 12 (6 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} + 6 x) + 12 \cdot 6 = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $12 (x^{2} + 6 x) + 12 \cdot 6$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$

解题步骤 2.3

将 $12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 (x^{2} + 6 x + 6)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 (x^{2} + 6 x + 6)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2} + 6 x + 6$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 6 x + 6 = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$x^{2} + 6 x + 6 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 1$ 、 $b = 6$ 和 $c = 6$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 3 + \sqrt{3}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.3

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = - 3 + \sqrt{3}, - 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 3 + \sqrt{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 3 + \sqrt{3}$ 替换 $x$ 。

$4 {(- 3 + \sqrt{3})}^{3} + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

使用二项式定理。

$4 ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (- 27 + 3 \cdot 9 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.4

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.2.5.4.1

约去公因数。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.5.4.2

重写表达式。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{1} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.5.5

计算指数。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.6

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.7

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{3^{3}}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{27}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.9

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.9.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{9 (3)}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.9.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.2.10

从根式下提出各项。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.3

从 $- 27$ 中减去 $27$ 。

$4 (- 54 + 27 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $27 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$4 (- 54 + 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.5

运用分配律。

$4 \cdot - 54 + 4 (30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $4$ 乘以 $- 54$ 。

$- 216 + 4 (30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.7

将 $30$ 乘以 $4$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.8

将 ${(- 3 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 ((- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.9.1

运用分配律。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 (- 3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.9.2

运用分配律。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.9.3

运用分配律。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.10.1.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10.1.2

将 $- 3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.10.3

从 $- 3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (12 - 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.11

运用分配律。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 \cdot 12 + 36 (- 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.12

将 $36$ 乘以 $12$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 + 36 (- 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.13

将 $- 6$ 乘以 $36$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.1.2.1.14

运用分配律。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} + 72 \cdot - 3 + 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.1.2.1.15

将 $72$ 乘以 $- 3$ 。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} - 216 + 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $- 216$ 和 $432$ 相加。

$216 + 120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} - 216 + 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.1.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

从 $216$ 中减去 $216$ 。

$0 + 120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

将 $0$ 和 $120 \sqrt{3}$ 相加。

$120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.1.2.2.3

从 $120 \sqrt{3}$ 中减去 $216 \sqrt{3}$ 。

$- 96 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $- 96 \sqrt{3}$ 和 $72 \sqrt{3}$ 相加。

$- 24 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.2

在 $x = - 3 - \sqrt{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 3 - \sqrt{3}$ 替换 $x$ 。

$4 {(- 3 - \sqrt{3})}^{3} + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

使用二项式定理。

$4 ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (- 27 + 3 \cdot 9 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$4 (- 27 + 27 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.5

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.6

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.9.4.1

约去公因数。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.9.4.2

重写表达式。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{1} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.9.5

计算指数。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.10

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.11

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.13

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{3^{3}}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.14

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{27}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.15

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.15.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{9 (3)}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.15.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.16

从根式下提出各项。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - (3 \sqrt{3})) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.2.17

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.3

从 $- 27$ 中减去 $27$ 。

$4 (- 54 - 27 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.4

从 $- 27 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$4 (- 54 - 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.5

运用分配律。

$4 \cdot - 54 + 4 (- 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.6

将 $4$ 乘以 $- 54$ 。

$- 216 + 4 (- 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.7

将 $- 30$ 乘以 $4$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.8

将 ${(- 3 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 ((- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.9.1

运用分配律。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 (- 3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.9.2

运用分配律。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.9.3

运用分配律。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.10.1.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.10.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.10.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.10.1.5.4.1

约去公因数。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.5.4.2

重写表达式。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.1.5.5

计算指数。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.10.3

将 $3 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (12 + 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.11

运用分配律。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 \cdot 12 + 36 (6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.12

将 $36$ 乘以 $12$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 36 (6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.13

将 $6$ 乘以 $36$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.14

运用分配律。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} + 72 \cdot - 3 + 72 (- \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.15

将 $72$ 乘以 $- 3$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} - 216 + 72 (- \sqrt{3}) + 8$

解题步骤 4.2.2.1.16

将 $- 1$ 乘以 $72$ 。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} - 216 - 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.2.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $- 216$ 和 $432$ 相加。

$216 - 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 216 - 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.2.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

从 $216$ 中减去 $216$ 。

$0 - 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.2.2.2.2.2

从 $0$ 中减去 $120 \sqrt{3}$ 。

$- 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.2.2.2.3

将 $- 120 \sqrt{3}$ 和 $216 \sqrt{3}$ 相加。

$96 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.2.2.2.4

从 $96 \sqrt{3}$ 中减去 $72 \sqrt{3}$ 。

$24 \sqrt{3} + 8$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- 3 + \sqrt{3}, - 24 \sqrt{3} + 8), (- 3 - \sqrt{3}, 24 \sqrt{3} + 8)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例