微积分学示例

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x - 6$ 且 $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.2

根据加法法则， $- x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

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解题步骤 1.1.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 6$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.6.3

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.7

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.9

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.11

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.12

将 $- 1$ 移到 ${(x - 6)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.13

将 $- 1 {(x - 6)}^{2}$ 重写为 $- {(x - 6)}^{2}$ 。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.14

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.15

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.16

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.17

将 ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.17.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.17.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.18

从 $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

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解题步骤 1.1.2.18.1

从 $- {(x - 6)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.18.2

从 $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.18.3

从 $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.19

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.19.1

从 ${(x - 6)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.19.2

约去公因数。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.19.3

重写表达式。

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

运用分配律。

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

运用分配律。

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4.3.4

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4.3.5

将 $6$ 和 $12$ 相加。

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4.3.6

将 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ 。

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x + 18 = 0$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $18$ 。

$x = - 18$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 6)}^{3} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 18$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 18$ 替换 $x$ 。

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

解题步骤 4.1.2.1.2

从 $18$ 中减去 $6$ 。

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

解题步骤 4.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1.1

从 $- 18$ 中减去 $6$ 。

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

解题步骤 4.1.2.2.1.2

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{12}{576} + 9$

解题步骤 4.1.2.2.2

约去 $12$ 和 $576$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.2.2.1

从 $576$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

解题步骤 4.1.2.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

解题步骤 4.1.2.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{48} + 9$

解题步骤 4.1.2.3

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{48}{48}$ 。

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $9$ 和 $\frac{48}{48}$ 。

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

解题步骤 4.1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

解题步骤 4.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $9$ 乘以 $48$ 。

$\frac{1 + 432}{48}$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $1$ 和 $432$ 相加。

$\frac{433}{48}$

解题步骤 4.2

在 $x = 6$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $6$ 替换 $x$ 。

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

解题步骤 4.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

解题步骤 4.2.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- 18, \frac{433}{48})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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