微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3 x^{2} - 6 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 6 x + 6$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 6$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

解题步骤 2.2

从 $3 x^{2} - 6 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

将 $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2} - 2 x + 2$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + i$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - i$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i, 1 - i$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

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