微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 45 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} - 45 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 45 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 45 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 45 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 6 x - 45 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 6 x - 45 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 45$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 45$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 6 x - 45$ 。

$3 x^{2} - 6 x - 45$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 x - 45 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x - 45 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2} - 6 x - 45$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 6 x - 45 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 45 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 45$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 5) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 5) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 (x - 5) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 3$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - 3 x^{2} - 45 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

${(5)}^{3} - 3 {(5)}^{2} - 45 \cdot 5$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 - 3 {(5)}^{2} - 45 \cdot 5$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$125 - 3 \cdot 25 - 45 \cdot 5$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $25$ 。

$125 - 75 - 45 \cdot 5$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 45$ 乘以 $5$ 。

$125 - 75 - 225$

解题步骤 4.1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $125$ 中减去 $75$ 。

$50 - 225$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $50$ 中减去 $225$ 。

$- 175$

解题步骤 4.2

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.2

通过指数相加将 $- 3$ 乘以 ${(- 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 ${(- 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 27 + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 27 + {(- 3)}^{1 + 2} - 45 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 27 + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 - 27 - 45 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 45$ 乘以 $- 3$ 。

$- 27 - 27 + 135$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $- 27$ 中减去 $27$ 。

$- 54 + 135$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 54$ 和 $135$ 相加。

$81$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(5, - 175), (- 3, 81)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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