微积分学示例

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.3.3

将 ${(x - 9)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 9$ 。

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解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 9$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.4.3

使用 $x - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2

从 ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ 中分解出因数 $x - 9$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 ${(x - 9)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 9$ 。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ 中分解出因数 $x - 9$ 。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2.3

从 $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ 中分解出因数 $x - 9$ 。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.6

约去公因数。

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解题步骤 1.6.1

从 ${(x - 9)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 9$ 。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.6.2

约去公因数。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3

重写表达式。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.7

根据加法法则， $x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.9

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.10

化简项。

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解题步骤 1.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.10.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.10.3

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.10.4

组合 $6$ 和 $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ 。

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11

化简。

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解题步骤 1.11.1

运用分配律。

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.2

化简每一项。

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解题步骤 1.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.2.2

将 $6$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.3

从 $- 6 x - 54$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 1.11.3.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.3.2

从 $- 54$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.3.3

从 $6 (- x) + 6 (- 9)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.5

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.6

从 $- (x) - 1 (9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.7

将 $- (x + 9)$ 重写为 $- 1 (x + 9)$ 。

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 1.11.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将分子设为等于零。

$6 (x + 9) = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.1

将 $6 (x + 9) = 0$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $6 (x + 9) = 0$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 2.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

用 $x + 9$ 除以 $1$ 。

$x + 9 = \frac{0}{6}$

解题步骤 2.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$x + 9 = 0$

解题步骤 2.2.2

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x = - 9$

解题步骤 3

求在 $x = - 9$ 处的原函数 $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 9$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

将 $6$ 乘以 $- 9$ 。

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $- 9$ 中减去 $9$ 。

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

解题步骤 3.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1

约去 $- 54$ 和 $324$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1

从 $- 54$ 中分解出因数 $54$ 。

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

解题步骤 3.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.2.1

从 $324$ 中分解出因数 $54$ 。

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

解题步骤 3.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

解题步骤 3.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

解题步骤 3.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

解题步骤 3.2.4

最终答案为 $- \frac{1}{6}$ 。

$- \frac{1}{6}$

解题步骤 4

函数 $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ 的水平切线为 $y = - \frac{1}{6}$ 。

$y = - \frac{1}{6}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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