微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.1.3.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.3.9

组合 $4$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.4

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

解题步骤 2.2.2

由于 $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $3, 3, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $x^{\frac{2}{3}}$ 的最小公倍数。

解题步骤 2.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.2.4

因为除了 $1$ 和 $3$ 之外， $3$ 没有其他因数。

$3$ 是一个质数

解题步骤 2.2.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.2.6

$3, 3, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$3$

解题步骤 2.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.2.8

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $3$ 乘以变量部分。

$3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$4 x^{1} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.4

化简 $4 x^{1}$ 。

$4 x + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.6.1

约去公因数。

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.6.2

重写表达式。

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.7

约去 $x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.7.1

约去公因数。

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.7.2

重写表达式。

$4 x + 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

乘以 $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 x + 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 x = - 4$

解题步骤 2.4.2

将 $4 x = - 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $4 x = - 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $4$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 3.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 3.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.3.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.3.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${(- 1)}^{\frac{4}{3}} + 4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} + 4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} + 4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

约去公因数。

${(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} + 4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

重写表达式。

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$1 + 4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.6

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + 4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.1.2.1.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.7.1

约去公因数。

$1 + 4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.1.2.1.7.2

重写表达式。

$1 + 4 {(- 1)}^{1}$

解题步骤 4.1.2.1.8

计算指数。

$1 + 4 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.2.1.9

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 4$

解题步骤 4.1.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 3$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{\frac{4}{3}} + 4 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

${(0^{3})}^{\frac{4}{3}} + 4 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0^{3 (\frac{4}{3})} + 4 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

约去公因数。

$0^{3 (\frac{4}{3})} + 4 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

重写表达式。

$0^{4} + 4 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 4 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$0 + 4 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.6

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + 4 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.2.2.1.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.7.1

约去公因数。

$0 + 4 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.2.2.1.7.2

重写表达式。

$0 + 4 \cdot 0^{1}$

解题步骤 4.2.2.1.8

计算指数。

$0 + 4 \cdot 0$

解题步骤 4.2.2.1.9

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- 1, - 3), (0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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