微积分学示例

$f (x) = \frac{5}{3 x - 2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{3 x - 2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{1}{3 x - 2}$ 重写为 ${(3 x - 2)}^{- 1}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 2$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $3 x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- {(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 ({(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.3.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + 0)$

解题步骤 1.1.3.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.7.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} \cdot 3$

解题步骤 1.1.3.7.2

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$- 15 {(3 x - 2)}^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 15 \frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{- 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ 。

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$15 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $15 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $3 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 2 = 0$

解题步骤 3.2.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 x = 2$

解题步骤 3.2.2.2

将 $3 x = 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.2.1

将 $3 x = 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{3}$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{5}{3 x - 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = \frac{2}{3}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{2}{3}$ 替换 $x$ 。

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{5}{2 - 2}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{5}{0}$

解题步骤 4.1.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

微积分学 示例

微积分学示例