微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ 和 ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ 。

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.1.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.1.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.1.2.4

用 ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

解题步骤 2.2.2

将 $n$ 和 $0$ 相加。

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

解题步骤 2.2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.1

运用分配律。

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

解题步骤 2.2.4

从 $n$ 中减去 $n$ 。

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

解题步骤 2.2.6

化简。

$r = \frac{1}{4}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ 以替换 $n$ 。

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

解题步骤 3.2.2

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

解题步骤 3.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = \frac{1}{4^{0}}$

解题步骤 3.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = \frac{1}{1}$

解题步骤 3.2.5

用 $1$ 除以 $1$ 。

$a = 1$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.2.2

合并。

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 5.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.2

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1

将 $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.3.2

从 $4^{6}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.3.3

约去公因数。

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.3.4

重写表达式。

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.5

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.8

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1024}{1024}$ 。

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.9

组合 $4$ 和 $\frac{1024}{1024}$ 。

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.11

化简分子。

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解题步骤 5.5.11.1

将 $4$ 乘以 $1024$ 。

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5.11.2

从 $4096$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.6

化简分母。

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解题步骤 5.6.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

解题步骤 5.6.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

解题步骤 5.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.1

从 $4095$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.8.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.8.3

重写表达式。

$\frac{1365}{1024}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1365}{1024}$

小数形式：

$1.33300781 \dots$

带分数形式：

$1 \frac{341}{1024}$

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